Понятие о теоремах Шеннона

 

Ранее отмечалось, что при передаче сообщений по каналам связи могут возникать помехи, способные привести к искажению принимаемых знаков. Так, например, если вы попытаетесь в ветреную погоду передать речевое сообщению человеку, находящемуся от вас на значительном расстоянии, то оно может быть сильно искажено такой помехой, как ветер. Вообще, передача сообщений при наличии помех является серьезной теоретической и практической задачей. Ее значимость возрастает в связи с повсеместным внедрением компьютерных телекоммуникаций, в которых помехи неизбежны. При работе с кодированной информацией, искажаемой помехами, можно выделить следующие основные проблемы: установления самого факта того, что произошло искажение информации; выяснения того, в каком конкретно месте передаваемого текста это произошло; исправления ошибки, хотя бы с некоторой степенью достоверности.

Помехи в передачи информации - вполне обычное дело во всех сферах профессиональной деятельности и в быту. Один из примеров был приведен выше, другие примеры - разговор по телефону, в трубке которого «трещит», вождение автомобиля в тумане и т.д. Чаще всего человек вполне справляется с каждой из указанных выше задач, хотя и не всегда отдает себе отчет, как он это делает (т.е. неалгоритмически, а исходя из каких-то ассоциативных связей). Известно, что естественный язык обладает большой избыточностью (в европейских языках - до 7%), чем объясняется большая помехоустойчивость сообщений, составленных из знаков алфавитов таких языков. Примером, иллюстрирующим устойчивость русского языка к помехам, может служить предложение «в словох всо глосноо зомононо боквой о». Здесь 26% символов «поражены», однако это не приводит к потере смысла. Таким образом, в данном случае избыточность является полезным свойством.

Избыточность могла бы быть использована и при передаче кодированных сообщений в технических системах. Например, каждый фрагмент текста («предложение») передается трижды, и верным считается та пара фрагментов, которая полностью совпала. Однако, большая избыточность приводит к большим временным затратам при передаче информации и требует большого объема памяти при ее хранении. Впервые теоретическое исследование эффективного кодирования предпринял К.Шеннон.

Первая теорема Шеннона декларирует возможность создания системы эффективного кодирования дискретных сообщений, у которой среднее число двоичных символов на один символ сообщения асимптотически стремится к энтропии источника сообщений (в отсутствии помех).

Задача эффективного кодирования описывается триадой:

 

Х = {X 4 i } - кодирующее устройство - В.

 

Здесь X, В - соответственно входной и выходной алфавит. Под множеством х_i можно понимать любые знаки (буквы, слова, предложения). В - множество, число элементов которого в случае кодирования знаков числами определяется основанием системы счисления (например, т = 2). Кодирующее устройство сопоставляет каждому сообщению х_i из Х кодовую комбинацию, составленную из п_i символов множества В. Ограничением данной задачи является отсутствие помех. Требуется оценить минимальную среднюю длину кодовой комбинации.

Для решения данной задачи должна быть известна вероятность Р_i появления сообщения х_i, которому соответствует определенное количество символов п_i алфавита В. Тогда математическое ожидание количества символов из В определится следующим образом:

 

n _cр = п_iР_i (средняя величина).

 

Этому среднему числу символов алфавита В соответствует максимальная энтропия Нтаx = n _ср log т. Для обеспечения передачи информации, содержащейся в сообщениях Х кодовыми комбинациями из В, должно выполняться условие H4mах ≥ Н(х), или п_cр log т ≥ - Р_i log Р_i. В этом случае закодированное сообщение имеет избыточность п_cр ≥ H(x) / log т, n _min = H(x) / log т.

Коэффициент избыточности

 

К _u = (H _max – H (x)) / H _max = (n _cp – n _min) / n _cp

 

Выпишем эти значения в виде табл. 1.8. Имеем:

 

N _min = H (x) / log 2 = 2,85, K _u = (2,92 - 2,85) / 2,92 = 0,024,

 

т.е. код практически не имеет избыточности. Видно, что среднее число двоичных символов стремится к энтропии источника сообщений.

 

Таблица 1.8 Пример к первой теореме Шеннона

 

N	Рхi	xi	Код	ni	пi- ∙ Рi	Рхi ∙ log Рхi
	0,19	X1			0,38	-4,5522
	0,16	X2			0,48	-4,2301
	0.16	X3			0,48	-4,2301
	0,15	X4			0,45	-4,1054
	0,12	X5			0,36	-3,6706
	0,11	X6			0,33	- 3,5028
	0,09	X7			0,36	-3,1265
	0,02	X8			0,08	-3,1288
	Σ=1	Σ=2,92	Σ=2,85

 

Вторая теорема Шеннона гласит, что при наличии помех в канале всегда можно найти такую систему кодирования, при которой сообщения будут переданы с заданной достоверностью. При наличии ограничения пропускная способность канала должна превышать производительность источника сообщений. Таким образом, вторая теорема Шеннона устанавливает принципы помехоустойчивого кодирования. Для дискретного канала с помехами теорема утверждает, что, если скорость создания сообщений меньше или равна пропускной способности канала, то существует код, обеспечивающий передачу со сколь угодно мглой частотой ошибок.

Доказательство теоремы основывается на следующих рассуждениях. Первоначально последовательность Х = {xi} кодируется символами из В так, что достигается максимальная пропускная способность (канал не имеет помех). Затем в последовательность из В длины п вводится r символов и по каналу передается новая последовательность из п + r символов. Число возможных последовательностей длины и + т больше числа возможных последовательностей длины п. Множество всех последовательностей длины п + r может быть разбито на п подмножеств, каждому из которых сопоставлена одна из последовательностей длины п. При наличии помехи на последовательность из п + r выводит ее из соответствующего подмножества с вероятностью сколь угодно малой.

Это позволяет определять на приемной стороне канала, какому подмножеству принадлежит искаженная помехами принятая последовательность длины п + r, и тем самым восстановить исходную последовательность длины п.

Эта теорема не дает конкретного метода построения кода, но указывает на пределы достижимого в создании помехоустойчивых кодов, стимулирует поиск новых путей решения этой проблемы.