О с н о в н ы е о п р е д е л е н и я. Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова “множество” его синонимами: совокупность, собрание элементов и т.п. Не ставя своей задачей сколько-нибудь полное изложение теории множеств, мы здесь лишь введем основные обозначения и приведем первоначальные теоретико-множественные понятия, используемые в дальнейшем.
Множества мы будем обозначать прописными буквами А, В,..., а их элементы - малыми x, y,... Утверждение “элемент x принадлежит множеству А” символически записывается так: xÎA; запись xÏA означает, что элемент не принадлежит А. Множество, как совокупность элементов, удовлетворяющих свойству Р, будем записывать в виде
A={ x: x удовлетворяет Р}.
П р и м е р. Пусть Z- множество целых чисел. Тогда, А={ x: x=2k, k ÎZ}- множество четных чисел.
Мы будем говорить, что множество А есть подмножество множества B, и писать АÌВ (или ВÉА), если каждый элемент множества А является элементом множества В.
Если АÌВ и ВÌА, то мы будем писать А=В.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ. Пустое множество служит подмножеством любого множества.
О п е р а ц и и н а д м н о ж е с т в а м и. Пусть А и В - произвольные множества; их суммой, или объединением С=А È В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.
А
В
 |
Рис. 1
Аналогично определяется сумма любого конечного числа множеств: если А 
(k=1,..., n) -произвольные множества, то их сумма 
А есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А .
Назовем пересечением (или произведением) С=А Ç В множеств А и В множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В.
А В
 |
Рис. 2
Например, пересечение множества всех четных чисел и множества всех чисел, делящихся на три, будет множество всех чисел, делящихся на шесть. Пересечением любого конечного числа множеств А называется совокупность 
А k элементов, принадлежащих каждому из множеств А .
Назовем разностью С=А\ В множеств А и В совокупность тех элементов из А, которые не содержатся в В.
Т е о р е м а. Операции сложения и пересечения коммутативны и ассоциативны, т.е.
А È В = В È А, (А È В)È С = АÈ(В È С),
А Ç В = В Ç А, (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С).
Кроме того, выполняется закон дистрибутивности
А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнение первых двух законов очевидно. Докажем дистрибутивность. Допустим, что xÎАÇ(ВÈС). Тогда, xÎА и xÎВÈС, т.е. xÎВ или xÎС (или и то и другое). Значит, xÎАÇВ или xÎАÇС, так что xÎ(АÇВ)È(АÇС). Таким образом,
(А Ç В) È С Ì (А Ç В) È (А Ç С).
Предположим теперь, что xÎ(АÇВ)È(АÇС). Тогда xÎАÇВ или xÎАÇС. Таким образом, xÎА и xÎВÈС. Значит, xÎАÇ(ВÈС), так что
(А Ç В) È (А Ç С) Ì (А Ç В) È С.
Следовательно А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С).
