Означення. Результатом многочленів 
та 
називається число 
, де 
- корені многочлена 
.
Властивість1. 
де
- корені многочлена 
.
Властивість 2. 
Властивість 3.
… 
…
. … …
...
… …
… 
…
. … …
...
… …
Ця форма результата називається формою Сільвестра.
Теорема 1. Якщо многочлени і мають спільний корінь, то 
.
Теорема 2. Якщо , то або многочлени та мають спільний корінь або обидва їх старші коефіціенти дорівнюють нулю.
Розглянемо систему алгебраїчних рівнянь:
(1)
Розглядаючи 
як параметр, побудуємо 
є алгебраїчним многочленом відносно степеня 
, який не перевищує добутку степенів многочленів 
, 
(відносно обох змінних).
Многочлен має в полі комплексних чисел коренів 
. Якщо результат дорівнює нулю, то на основі теореми 2 многочлени
(2)
Або мають спільний корінь, або їх старші коефіціенти 
, 
дорівнюють нулю.
1. Якщо хоча б один з коефіціентів , відмінний від нуля, то 
, 
мають спільний корінь 
. Пара чисел 
є одним з розв’язків системи (2). Для даного 
може бути декілька спільних коренів , , наприклад, 
. Тоді пари чисел 
, 
є розв’язками системи (2).
2. Якщо 
та 
то та можуть і немати спільних коренів. Тоді ми відкидаємо. Якщо ж , мають спільний корінь , то -розв’язок системи.
Щоб знайти всі розв’язки системи рівнянь (1) потрібно розглянути алгебраїчно всі корені результата .
Таким чином, щоб розв’язати систему алгебраїчних рівнянь (1) потрібно:
1) Побудувати результат та знайти всі його корені;
2) Знайдений корінь 
підставити в многочлени , .
3) Знайти найбільший спільний дільник 
многочленів , .
4) Розв’язати рівняння 
. Корені цього рівняння 
є спільними коренями многочленів та .
5) Скласти систему пар чисел 
.
Приклад. Розв’язати систему рів7нянь:
Обчислимо результат :
.
Коренями будуть 
; 
; 
.
1). , 
Спільного кореня немає. В цьому випадку система немає розв”язку.
2). , 
Спільним коренем буде 
. Отже, 
є розв’язком системи.
3) , 
Спільний корінь 
. Отже, 
- є розв’язком системи рівнянь.
Відповідь: , .
Розв’язати систему рівнянь:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
При якому 
мають спільні корені многочлени:
22. 
23. 
24. 
25. 
Обчислити результати многочленів:
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Література
1. Чарін В.С. Лінійна алгебра. К.:Техніка,2004,-413с.
2. Саушкін О.Ф. Рівняння вищих степенів, методи їх розв’язання. - К.:КНЕУ,1999.-99с.
3. Завало С.Т. та інші. Алгебра і теорія чисел. - К.:Вища школа.1976-384с.
4.Марач В.С., Крайчук О.В. Індивідуальні завдання з алгебри і теорії чисел. IV семестр. - Рівне,1990.
5. Фадєєв Д.К.,Сочінський І.С. Збірник задач з вищої алгебри. - К.:Вища школа,1971. - 316с.
6. Лельчук М.П. Збірник задач з алгебри і теорії чисел. - К.:Вища школа,1987.
