Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне многочленів.

Підготував: проф. Петрівський Б.П.

 

Рівне - 2010

 

Рівняння 3-го і 4-го степенів та їх розв’язання методом Кардано та Феррарі.

Розглянемо рівняння 3-го степеня: в полі с.

Покажемо що за допомогою заміни можна позбутися квадрата невідомої величини. Справді:

або

. Підбедемо t так, щоб , тобто , тоді одержимо:

.

Рівняння (1) називається зведеним кубічним рівнянням.

Будемо шукати розв’язок цього рівняння у виді .

Отримаємо: або . Покладемо (2) , тоді . Тобто (3)

Позначимо: , Згідно теореми Вієта і є розв’язками рівняння:

звідси

 

звідси ,

і (4) – формула Кардано.

Оскільки корінь третього степеня з комплексного числа має три різні комплексні значення, то з формули (4) отримаємо дев’ять комплексних чисел. Цей результат є наслідком того, що не є еквівалентним .

На практиці ми знаходимо три значення u з формули , а відповідні значення v знаходимо з умови (2) . Іноді краще знаходити значення v, а відповідні значення u знаходимо з формули (2).

Приклад. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання:

Нехай . Одержимо або

Якщо , то .

Розв’яжемо , тоді або

. Виберемо u та v так, щоб або , тоді . Маємо

Позначимо: , . Тоді маємо рівняння

, .

Звідси , , , , .

Знайдемо відповідні значення , , .

;

;

.

;

;

.

Значить, ; ; .

 

Розглянемо метод Феррарі розв’язування рівняння: (5)

Виділимо з перших двох доданків квадрат:

.

1. Нехай , тоді або

і розв’язок рівняння

та будуть розв’язками рівняння (5).

2. Якщо не є квадратом, то вводимо параметр так, щоб цей вираз був квадратом (6) .

Підберемо так, щоб вираз другого доданку був квадратом (для цього дискримінант квадратного тричлена дорівнює 0).

або

(7)

Рівняння (6) називається резольвентним (розв’язуючим рівнянням) рівнянням для (5).

Знайшовши будь-який розв’язок рівняння (7) та підставивши його значення в (6), отримаємо:

та .

Розв’язки цих рівнянь будуть розв’язками рівняння (5). На практиці замість параметра часто розглядають параметр .

Приклад 2. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання:

Виділимо квадрат: або .

Звідси або ,

, , .

Приклад 3. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання:

Маємо , введемо параметр :

або

(8)

. Резольвентним рівнянням буде: . Одним з розв’язків цього рівняння буде . Підставимо в (8)

або

Звідси

 

Розв’язати методом Кардано рівняння:

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

Розв’язати рівняння методом Феррарі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне многочленів.

Розглянемо многочлени та над полем П.

Спільним дільником многочленів та називається многочлен на який діляться без остачі ці многочлени.

Найбільшим спільним дільником многочленів та називається спільний дільник, який ділиться без остачі на будь-який інший спільний дільник.

Алгоритмом Евкліда для многочленів та є така сукупність рівностей ( - степінь многочлена :

, <

, <

, <

… …

, <

Теорема Евкліда: Остання відмінна від нуль-многочлена остача алгоритму дорівнює найбільшому спільному дільнику.

Якщо многочлен ділиться на многочлен , то для будь-якого сталого ділиться й на . Значить алгоритм Евкліда можна застосувати з точністю до сталого множника.

Приклад 1. Знайти за алгоритмом Евкліда найбільший спільний дільник многочленів та . Щоб уникнути дробових коефіцієнтів будемо при потребі домножати (ділити) многочлени чи остачі при діленні на сталі числа. Зрозуміло, що при цьому частки зміняться, але той факт ніяк не впливає на знаходження ,

(множимо на 4)

(ділимо на -5)

(ділимо на 4)

.

Отже, остання відмінна від нуль-многочлена остача дорівнює 1.

Як відомо, для будь-яких многочленів і існують такі многочлени та , що виконується тотожність .

Для знаходження , потрібно застосувати алгоритм Евкліда, але при цьому не можна домножати (ділити) на сталі числа.

 

Знайти та , якщо:

 

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. ,

25. ,

26. ,

27. ,

28. ,

29. ,

30. ,