Раздел: Основы теории вероятностей

1. При обследовании 250 человек с помощью флюорографии были выявлены следующие заболевания: у 7 человек – опухоль в легких, у 3 человек – плеврит, у 5 – остаточные явления после воспаления легких. Найти вероятность этих заболеваний, выявленных с помощью флюорографии.

2. В поликлинике работают 80 человек. Из них 5 человек – администрация, 10 – технический персонал, 10 – педиатры, половина – врачи других специальностей, и 15 человек – статисты. Какова вероятность того, что наудачу выбранное лицо окажется статистом или человеком из администрации поликлиники.

3. Вероятность поступления хотя бы одного вызова врача в течении часа Р(А)=0,85. Найти вероятность того, что в течении часа не последует вызова (В).

4. Во время эпидемии гриппа из 15 человек, доставленных в больницу с переломом, 5 оказались больны гриппом. В палату помещают по 4 человека. Найти вероятность того, что в палате хотя бы один окажется болен гриппом.

5. Медсестра обслуживает 3 палаты. Вероятность поступления вызова из 1-й палаты – 0,2, из 2-й – 0,4. Какова вероятность того, что ближайший вызов будет из 3-й палаты?

6. Найти вероятность того, что в семье с 4 детьми 3 мальчика и одна девочка, если вероятность рождения мальчика и вероятность рождения девочки равны.

7. В отделении 4 палаты. Вероятность того, что в течение ночи в первую палату потребуется кислородная подушка – 0,2, во 2-ю – 0,3, в 3-ю – 0,2, в 4-ю – 0,1. Какова вероятность того, что в течении ночи кислородная подушка потребуется в первую и во вторую палаты?

8. К экзамену студент выучил только 20 билетов из 30. Какова вероятность того, что ему достанется невыученный билет? Изменится ли вероятность этого события, если раньше другой студент уже вытащил один билет из тех, что выучен первым студентом (событие В)?

9. Согласно статистическим данным, европейцы имеют группу крови А – 0,369 всего населения, группу В – 0,235, группу АВ – 0,006, группу О – 0,390. Найти вероятность того, что у произвольно взятого донора группа крови А или В.

10. Медсестра обслуживает 3 палаты. Вероятность поступления вызова из 1-й палаты – 0,3, из 2-й – 0,5, а из 3-й – 0,2. Какова вероятность того, что ближайший вызов будет из 3-й и 2-й палат?

11. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 24 в билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что ему в билете попадется хотя бы один вопрос, который он не знает.

12. Учебник издан тиражом в 10000 экземплярах. Вероятность того, что учебник без переплета равна 0, 0001. Найти вероятность того, что 5 книг этого тиража бракованные.

13. На складе клиники имеется 15 электрокардиографов. У 5 из них имеются мелкие неисправности (отсутствует калибровочный импульс; не в порядке вилка и т. д.). Какова вероятность того, что из 3-х наугад взятых приборов хотя бы один окажется неисправным?

14. При аварии пострадали 12 человек, 4 из них получили ожоги. Скорая помощь доставляет в больницу по 2 человека. Найти вероятность того, что в машине окажется один пострадавший от ожога, один без ожога.

15. На обследование прибыла группа в 15 человек, среди которых 5 инфекционно больных. Одновременно обследование проходят 3 человека. Какова вероятность того, что в группе из 3 человек, хотя бы один окажется инфекционным?

16. Учебник издан тиражом в 10000 экземплярах. Вероятность того, что учебник без переплета равна 0, 0003. Найти вероятность того, что 3 книги этого тиража бракованные.

17. При аварии пострадали 12 человек, 4 из них получили ожоги. Скорая помощь доставляет в больницу по 2 человека. Найти вероятность того, что в машине окажется оба пострадавших с ожогами.

18. Медсестра обслуживает 3 палаты. Вероятность поступления вызова из 1-й палаты – 0,3, из 2-й – 0,5, а из 3-й – 0,2. Какова вероятность того что будет хотя бы один вызов?

19. В отделении 4 палаты. Вероятность того, что в течение ночи в первую палату потребуется кислородная подушка – 0,2, во 2-ю – 0,3, в 3-ю – 0,2, в 4-ю – 0,1. Какова вероятность того, что в течении ночи кислородная подушка потребуется во вторую или третью палаты?

20. Вероятность попадания в цель хотя бы один раз при 2 выстрелах равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок не попадет в цель при двух выстрелах?

21. Монета брошена 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет 5 раз.

22. На складе клиники имеется 15 электрокардиографов. У 5 из них имеются мелкие неисправности (отсутствует калибровочный импульс; не в порядке вилка и т. д.). Какова вероятность того, что из 3-х наугад взятых приборов 2 окажутся неисправными, а один исправным?

23. На обследование прибыла группа в 15 человек, среди которых 5 инфекционно больных. Одновременно обследование проходят 3 человека. Какова вероятность того, что в группе из 3 человек не окажется инфекционно больного?

24. Учебник издан тиражом в 20000 экземплярах. Вероятность того, что учебник без переплета равна 0, 0002. Найти вероятность того, что 5 книг этого тиража бракованные.

25. Для уничтожения колонии микроорганизмов, ее обрабатывают последовательно двумя препаратами. Вероятность уничтожения колонии первым препаратом – 0,4, вторым – 0,6, причем их действия независимы. Найти вероятность того, что после действия обоих препаратов колония не будет уничтожена.

26. Вероятность того, что шприц окажется негодным, равна 0,002. В аптеку доставлены 1000 шприцев. Вероятность того, что шприц окажется негодным, равна 0,002. Найти вероятность того, что среди доставленных шприцев 5 окажутся негодными.

27. При аварии пострадали 12 человек, 4 из них получили ожоги. Скорая помощь доставляет в больницу по 2 человека. Найти вероятность того, что в машине окажется оба пострадавших с ожогами.

28. Во время эпидемии гриппа из 15 человек, доставленных в больницу с переломом, 5 оказались больны гриппом. В палату помещают по 4 человека. Найти вероятность того, что в палате хотя бы один окажется болен гриппом.

29. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 24 в билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что ему в билете попадется хотя бы один вопрос, который он не знает.

30. В поликлинике работают 80 человек. Из них 5 человек – администрация, 10 – технический персонал, 10 – педиатры, половина – врачи других специальностей, и 15 человек – статисты. Какова вероятность того, что наудачу выбранное лицо окажется статистом или человеком из администрации поликлиники.

31. Вероятность заболевания гепатитом для жителя некоторой области в определенный период года составляет 0,0005. Оценить вероятность того, что из обследованных 10000 жителей 4 окажутся заболевшим.

32. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

33. В стационарном отделении больницы 20% всех мужчин и 15% всех женщин лечатся от гипертонии. Наугад выбранное лицо оказалось гипертоником. Какова вероятность того, что это женщина? Количество всех женщин и мужчин одинаковое число.

34. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.

35. Препарат проверятся на стандартность одним из двух фармацевтов. Вероятность того, что препарат попадет к первому фармацевту, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что препарат будет признан стандартным первым фармацевтом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Препарат при проверке был признан стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй фармацевт.

36. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытаний равна 0,6.

37. Имеются 2 ящика одинаковой формы. В первом ящике находятся 2 белых, 2 черных шара, а во втором – 5 белых и один черный шар. Случайным образом из любого ящика вынимается один шар. Шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар вынут из второго ящика.

38. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости 4200 раз выпадет число «3» от 650 до 700 раз?

39. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей – на заводе № 2 и 18 деталей – на заводе № 37 Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

40. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз.

41. Препарат проверятся на стандартность одним из двух фармацевтов. Вероятность того, что препарат попадет к первому фармацевту, равна 0,45, а ко второму – 0,55. Вероятность того, что препарат будет признан негодным первым фармацевтом, равна 0,1, а вторым – 0,02. Препарат при проверке был признан негодным. Найти вероятность того, что это изделие проверил первый фармацевт.

42. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз.

43. В поликлинике работают 20 терапевтов, 6 педиатров и 4 хирурга. Вероятности выполнении квалификационных норм таковы: для терапевта – 0,9, для педиатра – 0,8, для хирурга – 0,75. Какова вероятность выполнения нормы для наугад выбранного врача?

44. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз.

45. В стационарном отделении больницы 15% всех мужчин и 5% всех женщин лечатся от ревматизма. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает от ревматизма. Количество мужчин и женщин одинаковое число.

46. Вероятность того, что деталь не пройдет проверку равна р=0,2. Найти вероятность того, что из случайно выбранных 400 деталей от 70 до 100 деталей не прошли проверку.

47. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. Найти вероятность того, что при сверке перфокарт обнаружится ошибка.

48. Посажены 400 деревьев. Вероятность того, что одно дерево вырастет (не засохнет) равна 0,8. Какова вероятность того, что из всех посаженных деревьев вырастут более 250?

49. В стационарном отделении больницы 5% всех мужчин и 15% всех женщин лечатся от различных болезней сердца. Наугад выбранное лицо оказалось сердечником. Найти вероятность того, что это мужчина. Количество мужчин и женщин одинаковое число.

50. Вероятность того, что событие А появится в одном испытании равна 0,2. Найти вероятность того, что событие появится 102 раза в 400 испытаниях.

51. Имеются 2 ящика одинаковой формы. В первом ящике находятся 3 белых, 2 черных шара, а во втором – 4 белых и 3 черных шара. Случайным образом из любого ящика вынимается один шар. Шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

52. Вероятность того, что при перевозке ампула повредится равна р=0,2. Найти вероятность того, что из случайно выбранных 400 ампул от 70 до 100 ампул будут повреждены.

53. Имеются 2 ящика одинаковой формы. В первом ящике находятся 2 белых, 2 черных шара, а во втором – 5 белых и один черный шар. Случайным образом из любого ящика вынимается один шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.

54. Вероятность того, что событие А появится в одном испытании равна 0,2. Найти вероятность того, что событие появится 102 раза в 400 испытаниях.

55. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. Какова вероятность того, что наугад выбранное лицо окажется дальтоником? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

56. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз.

57. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: Z=X+2Y, M(X)=5, M(Y)=3.

58. Построить закон распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4.

59. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=4 с вероятностью р₁=0,5; х₂=6 с вероятностью р₂=0,3 и х₃ с вероятностью р₃. Найдите х₃, р₃ . Если М(Х)=8.

60. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наугад отобраны 2 детали. Составить закон распределения стандартных деталей среди отобранных.

61. Дискретная случайная величина Х принимает только два возможных значения х₁ и х₂, х₁>х₂, Р(Х=х₁)=0,6. Найти закон распределения величины Х, если М(Х)=1,4, D(Х)=0,24.

62. Указать распределение случайной величины, соответствующей выпадению одной из двух сторон (№1 и 2) подброшенной монеты. Проверить выполняется ли условие нормировки.

63. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=4 с вероятностью р₁=0,5; х₂=6 с вероятностью р₂=0,3 и х₃ с вероятностью р_3. Найти х₃ и р₃, зная, что М(Х)=8.

64. Найти распределение случайной величины Х- выпадение одной из сторон игральной кости. Проверить условие нормировки.

65. Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3X+2Y, если известно, что D(Х)=5, D(Y)=6.

66. В первой аптеке работают 5 сотрудников, во второй – 3, в третьей – 4, в четвертой – 5, в пятой - 4. Найдите закон распределения случайной Х – число сотрудников аптеки.

67. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁= -1, х₂=0, х₃=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=0,1, М(Х²)=0,9. Найти вероятности р₁, р₂, р₃, соответствующие возможным значениям х₁, х₂, х_3.

68. На диспетчерский пункт скорой помощи поступают звонки с вызовами. В течении 10 часов число вызовов за каждый час составило – 10, 5, 7, 8, 10, 4, 5, 8, 10, 5. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х – число вызовов скорой помощи.

69. Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(Х)=4, D(Y)=5.

70. Число сотрудников отделений составляют 15, 12, 13, 15, 10, 12, 15, 13, 14, 13. Составить закон распределения случайной величины Х – число сотрудников отделения.

71. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны

математические ожидания X и Y: Z=3X+4Y, M(X)=2, M(Y)=6.

72. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – число стандартных деталей.

73.Составить закон распределения случайной величины Х - выпадение четного числа

очков игральной кости.

74. Дисперсия случайной величины Х равна 4. Найти дисперсию следующих величин:

а) -6Х; б) 7Х+2.

75. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию следующих величин:

а) -3Х; б) 4Х+3.

76. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁= -1, х₂=0, х₃=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=0,1, М(Х²)=0,9. Найти вероятности р₁, р₂, р₃, соответствующие возможным значениям х₁, х₂, х_3.

77. Используя свойства математического ожидания, доказать, что М(X-Y)=M(X)-M(Y).

78. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – число стандартных деталей.

79. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁=1, х₂=2, х₃=3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(Х)=2,3, М(Х²)=5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х_.

80. Число сотрудников отделений составляют 15, 12, 13, 15, 10, 12, 15, 13, 14, 13. Составить закон распределения случайной величины Х – число сотрудников отделения.

81. Используя свойства математического ожидания, доказать, что М(X-Y)=M(X)-M(Y).

82. На диспетчерский пункт скорой помощи поступают звонки с вызовами. В течении 10 часов число вызовов за каждый час составило – 10, 5, 7, 8, 10, 4, 5, 8, 10, 5. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х – число вызовов скорой помощи.

83. Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(Х)=4, D(Y)=5.

84. Число сотрудников отделений составляют 15, 12, 13, 15, 10, 12, 15, 13, 14, 13. Составить закон распределения случайной величины Х – число сотрудников отделения.

85. Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3X+2Y, если известно, что D(Х)=5, D(Y)=6.

86. В первой аптеке работают 5 сотрудников, во второй – 3, в третьей – 4, в четвертой – 5, в пятой - 4. Найдите закон распределения случайной Х – число сотрудников аптеки.

87. Дана плотность распределения вероятности:

Найти F(x).

88. Дана плотность распределения вероятности:

Найти F(x).

89. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятности

в интервале (0, π/3), вне этого интервала f(x) =0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (π/6, π/4).

90. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности: Найти математическое ожидание величины Х.

91. Плотность вероятности случайной величины Х, равномерно распределенной на [ а,b ]:

Найти: 1) функцию распределения F(x) и начертить ее график;

2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение

случайной величины Х.