Лекции.Орг


Поиск:




Для решения кубического уравнения

Исследование функций и построение графиков с помощью производной

 

Теория: Кремер Н.Ш. «Высшая математика для экономистов» учебник с.217-242

Краткая информация о новых учебных элементах

 

1. Значение функции в точке называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа от .

2. Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и в которых производная равна 0. Такие точки называются критическими.

3. Функция будет иметь экстремум в тех точках, где ее производная меняет свой знак, а сама функция непрерывна.

4. Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх, а если она расположена выше любой своей касательной, то называется выпуклой вниз в этом интервале.

5. Направление выпуклости кривой характеризуется знаком второй производной .

Если меняет свой знак при переходе через точку, в которой или не существует, то данная точка является точкой перегиба.

6. Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой график функции неограниченно приближается. Если , то прямая называется асимптотой вертикальной. Если существует наклонная асимптота, то ее уравнение имеет вид:

причем , .

 

Задача 1. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения данной функции – все действительные числа, так как функция представляет собой многочлен.

2. Точки пересечения с осями.

Если точка лежит на оси Оу, то .

Если точка лежит на оси Ох, то .

 

Для решения кубического уравнения

а) рассмотрим делители свободного члена : ; если , то , значит корень данного уравнения.

б) разделим многочлен на двучлен , т.е. :

в) решим квадратное уравнение:

.

Значит, график пересекает ось Ох в точке и касается в т. .

3. Промежутки знакопостоянства функции.

Итак, многочлен, определяющий данную функцию можно разложить на множители: . Определим знак функции в каждом из интервалов:

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Значит, на график функции располагается ниже оси Ох, а на - выше.

4. Чётность.

Вычислим .

и .

Значит, функция не обладает данными свойствами.

5. Исследование на экстремум.

;

критические точки.

Составим таблицу и определим знак производной в каждом интервале.

 
+     +
max min

 

Найдем значения функции в точках экстремума.

;

.

Изобразим эти точки на графике.

Рис. 5

6. Исследование на перегиб.

, если . При переходе через эту точку меняет знак, т.к. .

Отметим эту точку на графике.

Подставим координаты в уравнение где :

,

значит, касательная имеет уравнение . Построим ее:

х  
у  

7. Построение графика (рис. 5).

Для уточнения положения графика найдем координаты некоторых его точек:

х
у

 

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график:

.

Решение. 1. Область определения функции.

Делить на 0 нельзя, поэтому , , значит вертикальная асимптота.

2. Точки пересечения с осями.

С осью Оу: ,

;

С осью Ох:

.

3. Промежутки знакопостоянства функции:

при

при

при

при .

4. Исследование на экстремум.

.

Экстремума нет, т.к. критическая точка , в которой , не входит в область определения.

5. Исследование на перегиб.

.

При переходе через точку кривая меняет направление выпуклости, но т.к. эта точка является точкой разрыва, значит «перегиба» не существует.

Рис. 6

6. Построение асимптот (наклонных): .

.

Строим прямую по точкам:

х    
у  

7. Построение графика (рис. 6).

Для уточнения положения графика найдем значение заданной функции в точках .

х          
у     2,5

Задача 3. Исследовать функцию и построить ее график:

.

1. Область определения – все действительные числа.

2. Точки пересечения с осями.

С осью Оу:

С осью Ох: .

3. Промежутки знакопостоянства функции.

;

.

4. Исследование на экстремум.

;

.

х  
у min

 

.

5. Исследование на перегиб.

.

- точка перегиба, т.к. при всех х.

при

при .

. Точка перегиба .

6. Построение асимптот.

.

Следовательно, ось Ох является горизонтальной асимптотой.

7. Для построения графика (рис. 7) вычислим значения функции в некоторых точках:

; .

Рис. 7

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Тема: Информационное обеспечение исследований рынка | Концептуальные основы историко-культурного стандарта
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-02; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1606 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Студент всегда отчаянный романтик! Хоть может сдать на двойку романтизм. © Эдуард А. Асадов
==> читать все изречения...

1012 - | 843 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.