Дифференциальные зависимости между элементами изгиба балки

Между интенсивностью распределенной нагрузки, перерезывающей силой и изгибающим моментом существуют дифференциальные зависимости, установленные русским ученым Д.И. Журавским и немецким исследователем М. Шведлером.

Рисунок 8.17 – К определению дифференциальных зависимостей между элементами изгиба

Рассмотрим балку, загруженную произвольно распределенной нагрузкой q(х), которая описывается одной аналитической зависимостью (рис. 8.17, а). В сечении х выделим двумя параллельными сечениями бесконечно малый элемент dx (рис. 8.17, б). На него действуют: распределенная нагрузка интенсивностью q, которую на бесконечно малой длине элемента dx можно считать постоянной; перерезывающая сила и изгибающий момент М, которые при изменении длины на величину dx получают малые приращения d и dМ.

Воспользуемся условие статики для элемента балки dx:

т.е. производная по перерезывающей силе в поперечном сечении по линейной координате х равна интенсивности распределенной нагрузки q в том же сечении. Напомним из высшей математики, что производная функции по координате имеет геометрический смысл тангенса угла наклона касательной к функции по отношению к горизонтальной оси. А значит при криволинейной функции , где α-угол между касательной к и горизонтальной линии, параллельной к оси х.

2. Для моментов принимаем такое же правило знаков, что и в определении реакций (см. п. 8.2):

откуда, пренебрегая слагаемыми второго порядка малости (подчеркнуто), получаем:

т.е. производная от изгибающего момента в сечении равна перерезывающей силе в том же сечении. Аналогично вышеуказанному, тангенс угла наклона касательной к криволинейной функции М(х) к горизонтальной оси соответствует производной

Подставляя (8.9) в (8.8) получаем:

т.е. вторая производная от изгибающего момента в сечении равна интенсивности распределенной нагрузки в том же сечении.

Зависимости (8.9) и (8.10) составляют суть теоремы Журавского-Шведлера: первая производная от изгибающего момента равна перерезывающей силе в сечении балки, а вторая производная – интенсивности распределенной нагрузки в том же сечении.

Дифференциальные зависимости между элементами изгиба (8.8)-(8.10) используются при согласовании между собой эпюр и М:

1. На участках балки, на которых перерезывающая сила положительна, изгибающий момент возрастает (слева направо), а на участках, на которых она отрицательна, убывает.

2. Чем больше по абсолютной величине значение перерезывающей силы , тем круче линия, ограничивающая эпюру М. Отсюда следует, что на участке балки с возрастающими (в алгебраическом смысле) слева направо значениями линия, ограничивающая эпюру М, обращена выпуклостью вниз, а с убывающими – выпуклостью вверх.

3. На участке балки, на котором перерезывающая сила имеет постоянное значение, эпюра М ограничена прямой линией.

4. Если на границе соседних участков балки эпюра не имеет скачка, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются без перелома, т.е. имеют в точке сопряжения общую касательную.

5. Если на границе соседних участков балки на эпюре имеется скачок, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются с переломами, т.е. не имеют в точке сопряжения общей касательной.

6. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях балки, в которых перерезывающая сила равна нулю; касательная к линии, ограничивающая эпюру М, в этом сечении параллельна оси эпюры.

7. На участках действия распределенной нагрузки q перерезывающие силы изменяются по длине балки (при этом, если интенсивность q постоянна, то перерезывающая сила изменяется по линейному закону); эпюра изгибающих моментов на этих участках ограничены кривыми.

8. На участках балки, на которых распределенная нагрузка отсутствует, перерезывающие силы постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону.

9. На участках, где положительный изгибающий момент возрастает, отрицательная перерезывающая сила тоже возрастает; там, где положительный изгибающий момент убывает, положительная перерезывающая сила возрастает.

10. В местах, где к балке приложена сосредоточенная сила, на эпюре будет скачок, равный по величине этой силе, а на эпюре М будет иметь место перелом.

11. Внешний сосредоточенный момент на характере эпюры не отразится, а ордината эпюры М в этом месте изменится скачком, равным по величине этому моменту.

12. Эпюра М всегда обращена выпуклостью навстречу распределенной нагрузке, что следует из формулы (8.10) и совпадения правил знаков для изгибающих моментов и кривизны линии очертания эпюры.

13. Начальные и конечные на эпюрах и М должны совпадать со значениями сосредоточенных сил (в том числе реакций) с учетом правила знаков.

Согласование эпюр и М между собой с учетом типичных случаев внешней нагрузки (сосредоточенная и распределенная нагрузка, внешний момент) иллюстрируется следующей таблицей:

Таблица 8.1 – Согласование эпюр и М между собой