Лекции 17-18 Классы интегрируемых функций
Содержание лекции: Интегрирование основных классов функций: рациональных функций, тригонометрических функций.
Интегрирование иррациональных функций. «не берущиеся» интегралы.
Интегрирование рациональных функций
В предыдущей лекции мы познакомились с основными приемами вычисления неопределенного интеграла. Эти приемы не определяют точно пути, по которому следует идти, чтобы вычислить заданный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя.
Рассмотрим подробнее некоторые важнейшие классы функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений.
Известны сравнительно немногие классы функций, для которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде, т.е. первообразная может быть выражена через элементарные функции. Простейшим из таких классов является класс рациональных функций. Целые рациональные функции интегрируются просто – используя табличные формулы и свойство линейности. Поэтому рассмотрим интегрирование дробно-рациональных функций (рациональных дробей), т.е. функций вида
.
Из линейной алгебры известно, что всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей типа
I.  (А, а – константы)
|
II. 
, (k ³ 2 целое число)
III. 
(М, N, p, q – константы, дискриминант знаменателя меньше нуля)
IV. 
(k ³ 2 целое, знаменатель не имеет корней)
Интегрирование дробей I – III типов трудностей не представляет. Действительно,
I. 
,
II. 
,
III. 
.
Таким образом, интегрирование свелось к двум интегралам, один из которых - табличный:
,
а второй легко вычисляется подведением под знак дифференциала:
.
Интегралы IV типа требуют более сложных вычислений. Но и в этом случае выделение полного квадрата в знаменателе, а затем замена 
дает возможность упрощения интеграла. В частности, интеграл вида 
можно вычислить, используя интегрирование по частям, а можно воспользоваться рекуррентными формулами, которые имеются в любом справочнике по высшей математике.
Таким образом, если заданную рациональную дробь разложить в сумму простейших, то интегрирование этой суммы уже не составит особого труда.
Пример 1.
Найти: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Решение.
а) 
;
б) 
;
в) 
= 
;
г) 
.
Пример 2.
Найти 
Решение. Подынтегральная функция 
есть неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть этой дроби, для чего разделим числитель на знаменатель:
,
тогда = х – 1 + 
.
Рассмотрим правильную дробь и разложим ее на простейшие:
= 
.
Сравнивая числители полученной и исходной дробей, находим
х 2 А + В = 0
х В + С = 3 Þ А = 1, В = –1, С
св.чл. А + С = 5.
Значит, = 
. Тогда, искомый интеграл равен
= 
= 
= 
.
