Момент импульса материальной точкии твердого тела

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением
, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим
.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):
.

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:
.

 

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс: называют моментом импульса , этой точки относительно точки О (рис.5.4)

. Вектор иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы и и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).

Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) системы относительно точки О:

Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому . Сучетом связи линейных и угловых величин

и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .

Таким образом.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е.

(5.9)

Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

Вопрос №16

Три основных закона движения тел:

1-й закон. Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного и

прямолинейного движения, пока и поскольку приложенные силы не заставят его

изменить это состояние. Этот закон называется законом инерции. Если m - масса

тела, а v - его скорость, то закон инерции математически можно представить в

следующем виде:

mv = const.

 

Если v = 0, то тело находится в покое; если v = const, то тело движется

равномерно и прямолинейно. Произведение mv называется количеством движения тела.

Изменение количества движения тела может произойти только в результате его

взаимодействия с другими телами, т.е. под действием силы.

2-й закон. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей

силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Второй закон математически записывается так: F = mа

 

т. е. произведение массы тела m на его ускорение а равно действующей силе F.

Уравнение (2.14) называется основным законом динамики материальной точки.

3-й закон. Действие всегда вызывает равное и противоположное противодействие.

Иными словами, воздействия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в

противоположные стороны.

Если какое-нибудь тело с массой т1 взаимодействует с другим телом с массой m2,

то первое тело изменяет количество движения второго тела m2v2, no и само

претерпевает от него такое же изменение своего количества движения m1v1, но

только обратно направленное, т.е.

или

F2 = - F1

I закон Ньютона

Существуют такие системы отсчета, которые называются инерциальными, относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действие других сил скомпенсированно.

II закон Ньютона

Ускорение тела прямопропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе:

III закон Ньютона

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

 

Вопрос №17

теорема изменения импульса-изменение количества движения системы за некоторый промежу­ток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Теорема движения центра масс

система состоит из n точек, с соответствующими массами .

Запишем для каждой точки основной закон динамики

Эта система дифференциальных уравнений движения системы, так как для любой точки k системы

Проектируя уравнения (16.1.1) на координатные оси получим Зn уравнений, которые в общем случае проинтегрировать затруднительно,

Поэтому обычно применяют общие теоремы динамики для которых уравнения (16.1.1) являются исходными.

Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме: dT = , , – элементарные работы, действующих на точку внешних и внутренних сил, в конечной форме:

Т₂ – Т₁= . Для неизменяемой системы и Т₂ – Т₁= , т.е. изменение кинетической энергии твердого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении. Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Коэффициент полезного действия (кпд): < 1, А_{пол.сопр.} – работа полезных сил сопротивления (сил, для которых предназначена машина), А_затр= А_{пол.сопр.}+ А_{вр.сопр.} – затраченная работа, А_{вр.сопр.}-– работа вредных сил сопротивления (силы трения, сопротивления воздуха и т.п.).

h= N_маш/N_дв, N_маш – полезная мощность машины, N_дв – мощность дв-ля, приводящего ее в движение.

Вопрос №18

Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в пустоте и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до порядка скоростей движения планет в Солнечной системе (и даже бо́льших), преобразования Галилея приближенно верны с очень большой точностью.

Если ИСО(инерциальная система отсчета) S движется относительно ИСО S' с постоянной скоростью вдоль оси , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

или, используя векторные обозначения,

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

§ Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчета).

Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчета:

§ Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростей (много меньше скорости света).

мировой эфир

Более ста лет назад появилась гипотеза абсолютно неподвижного пространства - мирового эфира. Эфир определялся как некая однородная среда, целиком заполняющая всю вещество и вакуум. За это его назвали "мировым эфиром". Что из себя представляет данная субстанция и каковы его свойства - загадка, но было известно, что свет движется в эфире точно так же, как звук в воздухе. То есть в виде волны. Свет рассматривался как колебание мирового эфира. Было так же декларировано, что вещество движется сквозь эфир не вызывая его возмущения, точно так же, как тонкая сетка с большими ячейками движется внутри воды. Таким образом вещество и эфир строго разграничивались.

Майкельсона опыт

Майкельсонаопыт, опыт, поставленный впервые А. Майкельсоном в 1881 с целью измерения влияния движения Земли на скорость света. Отрицательный результат М. о. был одним из основных экспериментальных фактов, легших в основу относительности теории.

В физике конца 19 века предполагалось, что свет распространяется в некоторой универсальной мировой среде —эфире. При этом ряд явлений (аберрация света, Физо опыт) приводил к заключению, что эфир неподвижен или частично увлекается телами при их движении. Согласно гипотезе неподвижного эфира, можно наблюдать "эфирный ветер" при движении Земли сквозь эфир и скорость света по отношению к Земле должна зависеть от направления светового луча относительно направления её движения в эфире.

М. о. проводился с помощью интерферометра Майкельсона с равными плечами; одно плечо направлялось по движению Земли, другое — перпендикулярно к нему. При повороте всего прибора на 90° разность хода лучей должна менять знак, вследствие чего должна смещаться интерференционная картина. Расчёт показывает, что такое смещение, выраженное в долях ширины интерференционной полосы, равно D = (2l/ l)(v²/ c²), где l — длина плеча интерферометра, l — длина волны применявшегося света (жёлтая линия Na), с — скорость света в эфире, v — орбитальная скорость Земли. Так как величина v/c для орбитального движения Земли порядка 10^-4, то ожидавшееся смещение очень мало и в первом М. о. составляло всего 0,04. Тем не менее уже на основе этого опыта Майкельсон пришёл к убеждению о неверности гипотезы неподвижного эфира.

В дальнейшем М. о. неоднократно повторялся. В опытах Майкельсона и Э. У. Морли (1885—87) интерферометр устанавливался на массивной плите, плавающей в ртути (для плавного вращения). Оптическая длина пути с помощью многократных отражений от зеркал была доведена до 11 м. При этом ожидавшееся смещение D " 0,4. Измерения подтвердили отрицательный результат М. о. В 1958 в Колумбийском университете (США) было ещё раз продемонстрировано отсутствие неподвижного эфира. Пучки излучения двух одинаковых квантовых генераторов микроволн (мазеров) направлялись в противоположные стороны — по движению Земли и против движения — и сравнивались их частоты. С огромной точностью (~10^-9%) было установлено, что частоты остаются одинаковыми, в то время как "эфирный ветер" привёл бы к появлению различия этих частот на величину, почти в 500 раз превосходящую точность измерений.

В классической физике отрицательный результат М. о. не мог быть понят и согласован с другими явлениямиэлектродинамики движущихся сред. В теории относительности постоянство скорости света для всехинерциальных систем отсчёта принимается как постулат, подтверждаемый большой совокупностью экспериментов.

 

Постулаты теории относительности

1)Все законы природы одинаковы в инерциальных системах отсчета

2)Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчетав

 

Лоренца преобразования, в специальной теории относительности — преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Получены в 1904 Х. А. Лоренцом как преобразования, по отношению к которым уравнения классической микроскопической электродинамики (Лоренца — Максвелла уравнения) сохраняют свой вид. В 1905 А. Эйнштейн вывел их, исходя из двух постулатов, составивших основу специальной теории относительности: равноправия всех инерциальных систем отсчёта и независимости скорости распространения света в вакууме от движения источника света.

Рассмотрим частный случай двух инерциальных систем отсчёта å и å’ с осями х и x’, лежащими на одной прямой, и соответственно параллельными другими осями (у и y’, z и z’). Если система å’ движется относительно å с постоянной скоростью u в направлении оси х, то Л. п. при переходе от å к å’ имеют вид:

,

где с — скорость света в вакууме (штрихованные координаты относятся к системе å’, нештрихованные — к å).

Л. п. приводят к ряду важных следствий, в том числе к зависимости линейных размеров тел и промежутков времени от выбранной системы отсчёта, к закону сложения скоростей в теории относительности и др. При скоростях движения, малых по сравнению со скоростью света (u<< c), Л. п. переходят в преобразования Галилея (см. Галилея принцип относительности), справедливые в классической механике Ньютона