Определение 2.3. Функция 
называется бесконечно большой (б.б.ф.) при 
, если для любого числа 
существует число 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
, т.е.
.
Например, функция 
есть б.б.ф. при 
.
Если 
стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут 
; если лишь отрицательные значения, то 
.
Аналогично определяются бесконечно большие функции (т.е. понятия бесконечного предела функции) при 
, или 
, или 
.
Бесконечно малые функции (б.м.ф.)
Определение 2.4. Функция называется бесконечно малой (б.м.ф.) при , если для любого положительного e найдется такое положительное число d, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство 
.
С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:
.
Например, функция 
есть б.м.ф. при ; функция 
есть б.м.ф. при 
;
Аналогично определяются бесконечно малые функции (т.е. понятия бесконечного предела функции) при , или , или .
Бесконечно малые функции называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами, т.е. 
.
Пример 2.2. Показать, что функция
при 
является бесконечно малой.
Решение. Так как 
, то функция 
есть бесконечно малая при . Функция 
, ограничена, т.к. 
.
Функция представляет собой произведение ограниченной функции 
на бесконечно малую 
. Значит, 
- бесконечно малая при .
,
Бесконечно малые функции играют существенную роль в том, что понятие предела функции может быть сведено к понятию бесконечной малой. Имеет место следующая теорема, которую примем без доказательства
Теорема 2.1. Число A является пределом функции 
в точке 
тогда и только тогда, когда имеет место равенство
,
где 
- б.м.ф. при , т.е.
.
Теорема 2.2. Если функции и имеют в точке пределы A и B, т.е. 
и 
, то:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
, где 
;
Неопределенности
Если и 
- б.м.ф. при , то выражение 
при называется неопределенностью типа 
. Если и - б.б.ф. при , то выражение при называется неопределенностью типа 
, а выражение 
- неопределенностью типа 
. Если - б.м.ф., а - б.б.ф. при , то 
называется неопределенностью типа 
. Аналогично вводятся неопределенности типа 
и т.д.
Раскрыть неопределенность – это значит найти предел соответствующего выражения (если он существует), что зависит от конкретных функция, входящих в выражения.
Рассмотрим приемы раскрытия некоторых неопределенностей.
1. Непосредственное нахождение предела
Пример 2.3. Вычислить
.
Решение.
.
,
2. Преобразования, приводимые к сокращению дробей
Пример 2.4. Вычислить
.
Решение.
[раскладываем на множители числитель и знаменатель:
] =
= 
.
,
3. Деление на старшую степень x при
Пример 2.5. Вычислить
.
Решение.
.
,
Пример 2.6. Вычислить
.
Решение.
.
,
4. Сокращение с предварительным уничтожением иррациональности
Пример 2.7. Вычислить
.
Решение.
.
,
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция 
при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Теорема 2.3. (теорема о пределе промежуточной функции или теорема о «двух милиционерах») Если функция заключена между двумя функциями 
и 
, стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремиться к этому пределу, т.е., если
и 
, 
, то
.
Замечательные пределы
Теорема 2.4. (I замечательный предел) Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю, т.е.
. (2.1)
Пример 2.8. Найти
.
Решение. Первый способ. Имеем неопределенность типа 
. Теорема о пределе дроби не применима. Обозначим 
, тогда при 
и 
, поэтому
.
Второй способ.
.
,
Пример 2.9. Найти
.
Решение.
.
,
Теорема 2.5. (II замечательный предел)
. (2.2)
Если в равенстве (2.2.) положить 
(
при ), оно напишется в виде
. (2.3)
Равенство (2.3) тоже называется II замечательным пределом.
Пример 2.10. Найти
.
Решение.
.
,
2.7.Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть и 
есть б.м.ф. при , т.е. 
и 
. Тогда:
1) Если 
, то функции и называются бесконечно малыми одного порядка. В этом случае пишут: 
при (читается: « есть O большое от при ).
2) Если 
, то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем . В этом случае пишут: 
при (читается: « есть o малое от при ).
3) Если 
, то функция называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .
4) Если 
не существует, то функции и называются несравнимыми бесконечно малыми.
Например, при сравнении двух функций 
и 
при 
, получаем 
, значит, данные функции являются бесконечно малыми одного порядка, т.е. 
; при сравнении двух функций 
и 
при , получаем 
, значит, функция 
является бесконечно малой более низкого порядка, чем функция 
.
Пример 2.11. Можно ли сравнить функции 
и 
при .
Решение. Функции и при являются несравнимыми б.м.ф., так как предел 
не существует.
,
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при .
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Если 
, то функции и называются эквивалентнымибесконечно малыми при ; это обозначается так: a ~ b.
Теорема 2.6. Если при ~ 
, ~ 
и существует 
, то существует , причем
.
Для раскрытия неопределенностей типа 
часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, ~ 
при , 
~ при . Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.
Пример 2.12. Покажем, что 
~ 
при .
Решение.
.
,
Пример 2.13. Найти
.
Решение.
.
,
Ниже приведем важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:
1. ~ при ;
2. ~ при ;
3.  ~ при ;
4.  ~ при ;
5. ~ при ;
| 6.  ~ при ;
7.  ~  при ;
8.  ~ при ;
9.  ~  при ;
10.  ~  при ;
в частности,  ~  .
|
Пример 2.14. Найти
.
Решение. Так как 
~ 
при 
, то
.
,
2.8.Односторонние пределы
В определении предела функции 
считается, что стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Определение 2.5. Число A 1 называется пределом функции слева в точке , если для любого положительного e найдется такое число 
, что при 
, выполняется неравенство 
.
С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:
.
Или коротко: 
.
Аналогично определяется предел функции справа, который с помощью символов можно записать следующим образом:
.
Или коротко: 
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними.
Пример 2.15. Найти односторонние приделы функции 
в точке 
.
Решение. Имеем
; 
.,
Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке устанавливается следующей теоремой, которую примем без доказательства.
Теорема 2.7. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует правый и левый пределы и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке , т.е.
.
Следовательно, если односторонние пределы в точке существуют, но не равны, то предел функции в этой точке не существует. Так, функция в точке предела не имеет, поскольку 
.
3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
