Основные элементарные функции и их графики

Основные характеристики функции

 

1. Определение 1.3. Функция , определенная на множестве D, называется четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат.

Например, – четные функции, – не-четные функции, – функции общего вида, т.е. ни четные и ни нечетные.

 

2. Пусть функция определена на множестве D и пусть .

Определение 1.4. Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство:

, то функция называется возрастающей на множестве ;

, то функция называется неубывающей на множестве ;

, то функция называется убывающей на множестве ;

, то функция называется невозрастающей на множестве .

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

 

3. Определение 1.5. Функция , определенная на множестве D, называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми и . Например, функция ограничена на всей числовой прямой, так как для любого x.

 

4. Определение 1.6. Функция , определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T, что при каждом значение и .

Число T называется периодом функции. Если T – период функции, то ее периодами будут также числа , где . Так, например, для функции периодами будут числа , при этом наименьшим положительным периодом будет . Вообще, обычно наименьшее положительной число T, удовлетворяющее неравенству , берут за основной период.

 

Обратная функция

 

Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений E.

Определение 1.7. Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: .

Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно x (если это возможно).

Например, для функции обратной функцией является функция ; для функции , обратной функцией является ; для функции , заданной на отрезке , обратной не существует, т.к. одному значению y соответствует два значения x: если , то .

 

Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т.е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т.е. аргумент) обозначить через x, а зависимую переменную через y, то функция обратная функции запишется в виде .

Графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, уравнение которой имеет вид: .

 

Сложная функция

 

Определение 1.8. Пусть функция определена на множестве D, а функция на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функций)

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция есть суперпозиция двух функций и . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Основные элементарные функции и их графики

 

Основными элементарными функциями называются функции, которые имеет следующий вид, и на рисунках представлены их графики.

 

1. Линейная функция

Функция вида y=ax+b, где a, b Î R называется линейной функцией.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, например, A (0; b) и , если a ¹0.

Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y=kx+b.

 

2. Квадратичная функция

Функция вида , где a, b, c Î R, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола.

 

a >0 – ветви параболы направлены вверх; a <0 – ветви параболы направлены вниз.

Точка (x_в; y_в) – вершина параболы, .

Прямая x = x_в – ось симметрии.

x ₁, x ₂ – корни квадратного уравнения .

 

3. Обратная пропорциональность

Функция вида , где k ≠0, x ≠0 называется обратной пропорциональностью.

Графиком данной функции является гипербола.

 

4. Степенные функции

1). Степенная:

2). Степенная:

 

5. Показательные функции

Функция, заданная формулой y=a^x, где a >0, a ¹1, называется показательной функцией с основанием a.

 

6. Логарифмические функции

Функция, заданная формулой называется логарифмической функцией с основанием a.

7. Тригонометрические функции

Тригонометрическими функциями называются функции вида!.

 

 

8. Обратные тригонометрические функции

Обратными тригонометрическими функциями называются функции вида!.

 

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называются элементарными функциями. Например, следующие функции являются элементарными:

Примерами неэлементарных функций могут служить функции:

.

 

2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

 

2.1. Предел функции в точке

 

Пусть функция определена на некотором числовом множестве X и точка является предельной точкой этого множества, т.е. в любой e -окрестности точки содержатся точки множества X, отличных от . Точка может принадлежать множеству X или не принадлежать ему, следовательно, функция либо определена в точке , либо не определена.

Определение 2.1. (на «языке e-d», или по Коши).

Число A называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного e найдется такое положительное число d, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:

.

Геометрический смысл предела функции: , если для любой e -окрестности точки A найдется такая d -окрестность точки , что для всех из этой d- окрестности соответствующие значения функции лежат в e -окрестности точки A. Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 e, ограниченной прямыми . Очевидно, что величина d зависит от выбора e, поэтому пишут .

Еще раз подчеркнем, что при решении вопроса о существовании предела функции f в точке сама точка из рассмотрения исключается, а функция f считается определенной в некоторой достаточно малой окрестности точки . В этом смысле свойство функции иметь предел в точке является локальным свойством функции.

Пример 2.1. Доказать, что

.

Решение. Возьмем произвольное , найдем такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

.

Обозначив , видим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , где , выполняется неравенство . Следовательно, .

,

 

2.2. Предел функции при

 

Сформулируем понятие предела функции при , т.е. когда x неограниченно возрастает по модулю.

Определение 2.2. Число A называется пределом функции при , если для любого положительного e существует такое положительное число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:

.

Если , то пишут ; если , то пишут .

Геометрический смысл этого определения таков: для , что при или соответствующие значения функции попадают в e -окрестность точки A, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2 e, ограниченной прямыми .