Основные характеристики функции
1. Определение 1.3. Функция 
, определенная на множестве D, называется четной, если 
выполняются условия 
и 
; нечетной, если выполняются условия и 
.
График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат.
Например, 
– четные функции, 
– не-четные функции, 
– функции общего вида, т.е. ни четные и ни нечетные.
2. Пусть функция определена на множестве D и пусть 
.
Определение 1.4. Если для любых значений 
аргументов из неравенства 
вытекает неравенство:
, то функция называется возрастающей на множестве 
;
, то функция называется неубывающей на множестве ;
, то функция называется убывающей на множестве ;
, то функция называется невозрастающей на множестве .
Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.
3. Определение 1.5. Функция , определенная на множестве D, называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число 
, что для всех 
выполняется неравенство 
.
Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми 
и 
. Например, функция 
ограничена на всей числовой прямой, так как 
для любого x.
4. Определение 1.6. Функция , определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T, что при каждом значение 
и 
.
Число T называется периодом функции. Если T – период функции, то ее периодами будут также числа 
, где 
. Так, например, для функции периодами будут числа 
, при этом наименьшим положительным периодом будет 
. Вообще, обычно наименьшее положительной число T, удовлетворяющее неравенству , берут за основной период.
Обратная функция
Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений E.
Определение 1.7. Если каждому значению 
соответствует единственное значение , то определена функция 
с областью определения E и множеством значений D. Такая функция 
называется обратной к функции 
и записывается в следующем виде: 
.
Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение 
относительно x (если это возможно).
Например, для функции 
обратной функцией является функция 
; для функции 
, обратной функцией является 
; для функции 
, заданной на отрезке 
, обратной не существует, т.к. одному значению y соответствует два значения x: если 
, то 
.
Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т.е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т.е. аргумент) обозначить через x, а зависимую переменную через y, то функция обратная функции запишется в виде 
.
Графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, уравнение которой имеет вид: 
.
Сложная функция
Определение 1.8. Пусть функция 
определена на множестве D, а функция 
на множестве , причем для 
соответствующее значение 
. Тогда на множестве определена функция 
, которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функций)
Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.
Например, функция 
есть суперпозиция двух функций 
и 
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
Основные элементарные функции и их графики
Основными элементарными функциями называются функции, которые имеет следующий вид, и на рисунках представлены их графики.
1. Линейная функция
Функция вида y=ax+b, где a, b Î R называется линейной функцией.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, например, A (0; b) и 
, если a ¹0.
Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y=kx+b.
2. Квадратичная функция
Функция вида 
, где a, b, c Î R, называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола.
 |
a >0 – ветви параболы направлены вверх; a <0 – ветви параболы направлены вниз.
Точка (xв; yв) – вершина параболы, 
.
Прямая x = xв – ось симметрии.
x 1, x 2 – корни квадратного уравнения 
.
3. Обратная пропорциональность
Функция вида 
, где k ≠0, x ≠0 называется обратной пропорциональностью.
Графиком данной функции является гипербола.
4. Степенные функции
1). Степенная: 
2). Степенная: 
5. Показательные функции
Функция, заданная формулой y=ax, где a >0, a ¹1, называется показательной функцией с основанием a.
6. Логарифмические функции
Функция, заданная формулой 
называется логарифмической функцией с основанием a.
7. Тригонометрические функции
Тригонометрическими функциями называются функции вида!.
8. Обратные тригонометрические функции
Обратными тригонометрическими функциями называются функции вида!.
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называются элементарными функциями. Например, следующие функции являются элементарными:
Примерами неэлементарных функций могут служить функции:
.
2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2.1. Предел функции в точке
Пусть функция определена на некотором числовом множестве X и точка 
является предельной точкой этого множества, т.е. в любой e -окрестности точки содержатся точки множества X, отличных от . Точка может принадлежать множеству X или не принадлежать ему, следовательно, функция либо определена в точке , либо не определена.
Определение 2.1. (на «языке e-d», или по Коши).
Число A называется пределом функции в точке (или при 
), если для любого положительного e найдется такое положительное число d, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:
.
Геометрический смысл предела функции: 
, если для любой e -окрестности точки A найдется такая d -окрестность точки , что для всех из этой d- окрестности соответствующие значения функции лежат в e -окрестности точки A. Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 e, ограниченной прямыми 
. Очевидно, что величина d зависит от выбора e, поэтому пишут 
.
Еще раз подчеркнем, что при решении вопроса о существовании предела функции f в точке сама точка из рассмотрения исключается, а функция f считается определенной в некоторой достаточно малой окрестности точки . В этом смысле свойство функции иметь предел в точке является локальным свойством функции.
Пример 2.1. Доказать, что
.
Решение. Возьмем произвольное 
, найдем 
такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
.
Обозначив 
, видим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , где 
, выполняется неравенство . Следовательно, .
,
2.2. Предел функции при 
Сформулируем понятие предела функции при , т.е. когда x неограниченно возрастает по модулю.
Определение 2.2. Число A называется пределом функции при , если для любого положительного e существует такое положительное число 
, что при всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство .
С помощью логических символов это определение можно записать следующим образом:
.
Если 
, то пишут 
; если 
, то пишут 
.
Геометрический смысл этого определения таков: для 
, что при 
или 
соответствующие значения функции попадают в e -окрестность точки A, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2 e, ограниченной прямыми .
