Пример 1.3.7. Найдите учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 30% годовых, при наращении капитала: а) за год; б) за 150 дней. Временные базы ставок одинаковы

Решение, а) Для расчета воспользуемся формулой (26), где г=0,3, п= 1 год:

.

Таким образом, ученая ставка 23,08% годовых обеспечивает за год такое же наращение простыми процентами, как и процентная ставка 30% годовых.

б) Здесь возможны три случая, когда в году 360, 365 или 366 дней, т.е. n = года, n = года или n = года. Пользуясь формулой (26), соответственно получаем:

 

Бели бы в случае а) временные базы были бы неодинаковы, например, для учетной ставки - 360 дней, для процентной ставки - 365 дней, то следовало бы пользоваться формулой (28), где Т_r = 365 дней, Т_d = 360 дней и t = 150 дней:

.

Пример 1.3.8. Предприниматель получил 12 марта ссуду в банке по простой учетной ставке 22% годовых и должен возвратить 15 августа того же года 30 тыс. руб. Определите различными возможными способами сумму, полученную предпринимателем, и величину дисконта, если год невисокосный и проценты удерживаются банком при выдаче ссуды. Какова будет доходность такой операции для банка в виде годовой простой процентной ставки?

Решение. Величина суммы, полученной предпринимателем, зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней ссуды определяется, например, по таблице: 227 - 71 = 156 дней. Приближенное число дней состоит из 18 дней марта (30 -12); 120 дней (по 30 дней четырех месяцев: апрель, май, июнь, июль) и 15 дней августа. Т.е. приближенное число дней составляет 18+120+15=153 дня. Теперь с помощью формулы (19) можно рассчитать возможные значения суммы Р, полученной предпринимателем, и величину дисконта D_d.

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

тыс. руб.,

D_d = 30 –27,179 - 2,821 тыс. руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:

тыс. руб.,

D_d = 30 – 27,140 = 2,860 тыс. руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:

тыс. руб.,

D_d = 30 – 27,195 = 2,805 тыс. руб.

Для определения доходности для банка такой кредитной операции необходимо учитывать расчетное количество дней в году. Если для учетной и процентной ставок используется одна и та же временная база, например 365 дней в году, и в расчет принимается точное число дней ссуды, то по формуле (25), полагая n = года, d = 0,22, находим:

 

Таким образом, процентная ставка r = 24,28% обеспечивает через 156 дней (считая, что в году 365 дней) получение такой же наращенной величины из начального капитала, что и учетная ставка d = 22%. Действительно,

тыс. руб.

В предположении, что в году 360 дней для точного и приближенного числа дней ссуды, соответственно получим:

Если временные базы для процентной и учетной ставок разные, то варианты расчета доходности для банка в виде годовой простой процентной ставки рассматриваются аналогичным образом. Например, полагая в формуле (27) = 365, = 360, при точном числе дней t = 156 находим:

Продолжая подобным образом, можно рассчитать г для всех возможных случаев. Конечно, формулу (27) можно было использовать и в случае одной и той же временной базы для процентной и учетной ставок.

Пример 1.3.9. В банк предъявлен вексель на сумму 50 тыс. руб. за полтора года до срока его погашения. Банк согласен учесть вексель по переменной простой учетной ставке, установленной следующим образом: первые полгода - 30% годовых, следующие полгода - 36% годовых, затем каждый квартал ставка повышается на 2%. Определите дисконт банка и сумму, которую получит векселедержатель.

Решение. Так как на первое полугодие установлена учетная ставка 30% годовых, то дисконт за этот период равен 50 ^. 0,5 ^. 0,3 тыс. руб. Дисконт за второе полугодие – 50 ^. 0,5 ^. 0,36 тыс. руб. Поскольку на последующие кварталы установлены учетные ставки 36% + 2% = 38% и 38% + 2% = 40% годовых, то дисконты равны соответственно тыс. руб. и тыс. руб.

Суммируя полученные величины, находим дисконт D_d за полтора года:

тыс. руб.

Следовательно, владелец векселя получит 50 - 26,25 = 23,75 тыс. руб.

Такой же дисконт D_d = 26,25 тыс. руб. можно было получить, и установив на полтора года постоянную простую учетную ставку

т.е. d = 35% годовых.

Пример 1.3.10. При учете предъявленного векселя на сумму 30 тыс. руб. за 40 дней до срока его погашения доход банка coставил 1,5 тыс. руб. Определите доходность этой финансовой операции для банка в виде простой годовой процентной ставки при расчетном количестве дней в году, равном 360.

Решение. Вначале находим сумму, выплаченную предъявителю векселя: Р=30-1,5 =28,5 тыс. руб. Затем, полагая F - Р = 1,5 тыс. руб., t= 40 дней, Т = 360 дней, по формуле (23) получим:

или 47,37%

Решим этот пример другим способом, согласно которому вначале находим по формуле (24) простую годовую учетную ставку, по которой осуществлялся учет векселя:

И после этого по формуле (27) определяем эквивалентную простую процентную ставку:

Естественно, получили тот же результат.

Пример 1.3.11. Депозитный сертификат дисконтного типа номиналом 300 тыс. руб. куплен за 100 дней до его погашения по цене, определяемой простой учетной ставкой 30% годовых, и через 40 дней продан по цене, определяемой простой учетной ставкой 28% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки при расчетном количестве дней в году, равном 360. Какова будет доходность, если владелец сертификата продержит его до погашения?

Решение. Доход от приобретения депозитного сертификата дисконтного типа определяется тем, что он продается по цене ниже номинала, а погашается по номиналу. Также владелец такого сертификата может получить доход, продав сертификат до даты его погашения.

Цену покупки депозитного сертификата находим по формуле (19) при F = 300 тыс. руб., t= 100 дней, T = 360 дней, d = 0,3:

тыс. руб.

Поскольку позже депозитный сертификат был продан за 60 дней до срока погашения, то его цена продажи составила (t= 60 дней, d=0,28):

тыс. руб.

Доходность такой операции купли-продажи определяем по формуле (23), где Р = 274,882 тыс. руб., F = 286 тыс. руб., t = 40 дней, Т = 360 дней:

или 36,40%

Следует заметить, что найденная доходность по существу не зависит от величины номинала данного депозитного сертификата, а зависит от размеров учетных ставок и сроков от момента покупки и продажи до момента погашения сертификата. Это хорошо видно при решении аналогичного примера в общем виде. Кстати, и этот пример можно было решать, полагая величину номинала депозитного сертификата произвольной величиной F, которая при нахождении доходности просто сократится.

Если же сертификат не будет продан до срока погашения, то в этом случае доходность будет равна простой процентной ставке, обеспечивающей через 100 дней получение такой же наращенной величины из начального капитала, что и учетная ставка 30% годовых, т.е. надо воспользоваться формулой (25):

или 32,73% годовых.

Пример 1.3.12. Вексель учитывается банком за 120 дней до срока его погашения по простой учетной ставке 39% годовых. Определите доходность для банка такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки, если: а) комиссионные не удерживаются; б) удерживаются комиссионные в размере 1% от суммы, выплачиваемой за вексель. Расчетное число дней в году принимается равным 360.

Решение, а) Пусть предъявлен вексель на некоторую сумму F, тогда доход банка составит: , а предъявитель векселя получит сумму.F–0,13F=0,87F. Следовательно, по формуле (23) доходность для банка будет:

т.е. 44,83%

Очевидно, можно было и сразу применить формулу (27) при T_r=T_d=360:

б) Так как сумма, выплачиваемая за вексель, равна 0.87F, величину удержанных комиссионных определяем, взяв от этой суммы 1%: 0,87 F ^. 0,01 = 0,0087 F. Предъявитель векселя получит величину 0,87 F –0,0087 F= 0,8613 F. Следовательно, общий доход банка составит: F – 0,8613 F =0,1387 F. Теперь по формуле (23) можно определить доходность учета векселя для банка в виде простой годовой процентной ставки:

т.е. 48,31%

Таким образом, взимание комиссионных повышает доходность учета для банка.