Теорема: Q плотно в R.
Доказательство: х > у х’к > у”к х ³ х’к у”к ³ у
х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у
Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)єQ
Принцип вложенных отрезков.
Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:
1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)
2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток
3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч
4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч
5) Mножество хÎR - числовая прямая
Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a
Лемма: Пусть aN монотонно возрастает, bN монотонно убывает, "n aN£bN и (bN-aN)-бм, тогда $! с: "n cÎ[aN,bN] (с Ç[aN,bN])
Доказательство:
aN£bN£b1 aN монтонно возрастает & aN£b1 => $ Lim aN=a
a1£aN£bN bN монтонно убывает & a1£bN => $ Lim bN=b
aN£a b£bN aN£bN => a£b
Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b
Пусть c=a=b, тогда aN£c£bN
Пусть с не единственное: aN£c’£bN, с’¹с
aN£c£bN=>-bN£-c£-aN => aN-bN£c’-c£bN-aN => (По теореме о предельном переходе) => Lim(aN-bN)£Lim(c’-c)£Lim(bN-aN) => (a-b)£Lim(c`-c)£(b-a) =>
0£lim(c`-c)£0 => 0£(c`-c)£0 => c’=c => c - единственное.
Сумма и разность бесконечно малых и больших последовательностей.
Сумма бмп, есть бмп.
{хn},{yn} бмп
{xn+yn} бмп
Пусть ε>0 ЗN1 n>N1 |xn|<ε/2
З N2 n>N2 |yn|<ε/2
N=max{N1,N2} n>N
|xn|<ε/2 |yn|<ε/2
|xn+yn|<=|xn|+|yn|<ε/2+ε/2=ε
Сумма ббп, есть ббп.
{хn},{yn} ббп
{xn+yn} ббп
Пусть М>0 ЗN1 n>N1 |xn|<М/2
З N2 n>N2 |yn|<М/2
N=max{N1,N2} n>N
|xn|<М/2 |yn|<М/2
|xn+yn|<=|xn|+|yn|<М/2+М/2=М
Разность аналогично.
Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательностей.
{хn}бмп
{yn} огран
З М>0 |yn|<M
ε>0 З N n>N |xn|<ε/M
|xnyn|=|xn||yn|<ε/M*M=ε
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
Если {xn} ббп то начиная с некоторого n xn≠0 и {1/xn} бмп
ЗN n>N |xn|>1 {1/xn}
Ε>0 ЗN n>N |xn|>1/ε <=>|1/xn|<ε
Если {xn} бмп xn≠0 для достаточно больших n, то послед {1/xn} ббп
20. Неравенства и бесконечно малые последовательности. Постоянные бесконечно малые последовательности.
Если {xn} бмп {yn}: |yn|<=|xn| => {yn}бмп
Ε>0 ЗN n>N |xn|<ε
|yn|<=|xn|<ε
{1/n^λ} λ>0
ε>0 ЗN n>N
N=(1/ε)^1/λ => n>(1/ε)^1/λ <=> n^λ>1/ε <=> 1/n^λ<ε
Операции над сходящимися последовательностями
{xn} называется сходящейся, если З а для которой {xn-a} бмп
Если такая последовательность сходится, то а называется пределом xn->a, lim xn=a
Сумма сходящихся последовательностей сходится причем приделы суммируются
xn->a, yn->b
xn+yn->a+b
(xn+yn)-(a+b)=(xn-a)+(yn-b) бмп
Разность сходящихся последовательностей сходится, пределы вычитаются.
Произведение сходящихся последовательностей сходятся причем = произведение пределов
xn->a, yn->b
xn*yn->a*b
xn*yn-a*b=xn(yn-b)+b(xn-a) бмп
Частное сходящихся последовательностей сходятся причем = частному пределов
Единственность предела последовательности
Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел
xn->a, xn->b
{xn-a},{xn-b} бмп
{(xn-a)-(xn-b)}={b-a} бмп b-a=0
Vε>0 ЗN n>N |xn-a|<ε
Предельный переход в неравенствах.
1 {xn} сходится xn>=b
lim xn>=b
Пусть lim xn=a<b
ε=b-a
|xn-a|<ε=b-a
a-b<xn-a<b-a
xn<b
xn<b? => lim xn>b? не справедливо lim=0
2 xn, yn сходятся
xn<=yn
limxn<=limyn
yn-xn>=0
lim(yn-xn)= limyn-limxn>=0
limyn>=limxn
3 {xn},{yn} сходятся и имеют общий lim
xn<=zn<=yn тогда zn сходится limzn=limxn=limyn
limxn=limyn=a
xn-a<=zn-a<=yn-a zn-a бмп lim zn=0
Существование предельной точки у ограниченной последовательности.
x1, x2, xn последовательность
Точка а называется предельной точкой последовательности, если в любой окрестности точки а расположено бесконечное множество членов последовательности.
