Домашняя самостоятельная работа №1

Занятие 3

Действия с действительными числами

Мы уже говорили, что действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (делитель не равен нулю). Действия с действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия с рациональными числами. При выполнении действий с действительными числами их заменяют приближенными значениями. Повышая точность приближенных значений, получают более точное значение результата.

Например: 1) Найдем приближенное значение суммы чисел

Возьмем приближенные значения слагаемых с точностью до 0,1: , тогда

Если взять приближение до 0,01 (), то получим: И т.д., увеличивая точность приближения.

Стандартный вид числа.

1. В окружающем нас мире встречаются объекты, характеристики которых измеряются как очень большими, так и очень малыми числами. Например, масса Земли выражается огромным числом грамм. Масса атома водорода – очень маленьким числом грамма.

В таком (обычно десятичном) виде неудобно запоминать, читать и записывать, выполнять над ними какие либо действия. Поэтому принято записывать число в виде .

Для удобства сравнения чисел принято числа записывать в едином стандартном виде.

Определение. Стандартным видом числа называют его запись в виде <10 и n - целое число. Число n называют порядком числа .

Пример 1. В стандартном виде масса Земли составляет

Масса атома водорода равна (степень (-21)). Таким образом порядок числа, выражающего в граммах массу Землю, равен 27, а порядок числа, выражающего в граммах массу атома водорода, равен -21. Заметим, что различие в массах Земли и атома водорода составляет 48 порядков, то есть масса Земли больше массы атома водорода раз.

Порядок числа дает представление о его величине(то есть о том, насколько велико или мало это число). Например, если порядок числа L равен 2, то само число L находится в промежутке <1000. Если порядок числа L равен -3, то само число L находится в промежутке 0,001≤L<0,01.

Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.

Пример 2. Представим в стандартном виде число L=387000.

Пример 3. L

1. Абсолютная погрешность. Пусть дано число х.

Определение. Число а называется приближенным значением числа х, вычисленным с точностью до h > 0, если выполняется неравенство I х – а I < h.

Разность I х – а I называется абсолютной погрешностью, а h – оценка погрешности приближенного вычисления

2. Относительная погрешность.

Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е.

I х – а I = h.

Определение. Отношение погрешности к приближенному значению, т. е. число называется относительной погрешностью вычисления.

Например. Расстояние от Земли до Солнца приблизительно равно Погрешность <0,0007

Относительную погрешность указывают в процентах.

Домашняя самостоятельная работа №1

I Решение примеров

1. Сравните числа: 1) 9,835… и 9,847…; 2) -1,(27) и -1,272; 3) и 2,142; 4) 1,(375) и

2. Найдите приближенное значение выражения , где , округлив предварительно 1) до 0,1; 2) до 0,01; 3) до 0,001.

3. Изобразите действительные числа на числовой оси: 1) -4; 2) ; 3)

II Действия с числами в стандартном виде

1. Представить в стандартном виде числа: 1) 2180 000; 2) 675 000 000; 3) 0,00281;

4) 6) 6000 000; 7) 0,85; 8) 0,000 004; 9) 0,000 282. 10)

2. Выразите:

3. Выполните действия:

III Решение задач

1. Число 5,84 округлить до десятых долей с недостатком и с избытком. В каждом случае найти абсолютную погрешность приближения.

2. В каких границах заключено число , если его приближенное значение и абсолютная погрешность

3. Обратить число в десятичную дробь и округлить её соответственно до десятых, сотых, тысячных.

4. Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.

5. Выполняя лабораторную работу по определении плотности железа, ученик получил результат . Вычислите относительную погрешность результата (табличное значение ).