Занятие № 3
Дифференциальные уравнения 1-го порядка (3).
Необходимые сведения.
- Уравнения Бернулли и уравнения Риккати.
- Уравнение Бернулли – это уравнение вида:
Оно сводится к линейному заменой: 
.
- Метод Бернулли решения линейного уравнения
:
ищем решение уравнения в виде 
.
Тогда 
Выберем функцию любую 
так, чтобы первая скобка =0, т.е. 
.
Подставляем её в уравнение и находим 
.
Перемножая две найденные функции, находим общее решение линейного уравнения.
Таким же методом можно решить и уравнение Бернулли.
- Уравнение Риккати – это уравнение вида:
Оно сводится к уравнению Бернулли заменой 
, где 
- какое-то решение уравнения Риккати
- Уравнения в полных дифференциалах.
- Уравнение вида
, заданное в области D, называется уравнением в полных дифференциалах, если 
такая непрерывная в D функция 
, что левая часть уравнения есть полный дифференциал этой функции
(
).Тогда решение 
.
- Достаточным условием того, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, служит равенство:
Задачи для решения в аудитории.
1. Т.Р. Задача № 4. Найти общее решение линейного уравнения двумя способами (Методом Лагранжа и методом Бернулли); найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию (НУ):
Н.У.: 
2. Решить уравнение методом Бернулли и сравнить с решением, полученным методом Лагранжа (см.занятие №2):
3. Решить уравнения Риккати:
3.1. 
Указание: 
3.2 
Указание: 
4. Установить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах и найти
его общее решение:
4.1 
4.2 
4.3 
Дифференциальные уравнения 2 курс 3-ий семестр.
5. Т.Р. Задание № 3. Текстовые задачи
5.1 Сила тока 
в цепи с сопротивлением 
, индуктивностью 
и напряжением 
удовлетворяет уравнению 
.
Найти силу тока в момент времени 
, если
а) 
б) 
и 
(
- постоянные)
5.2 Количество света, поглощаемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего на слой света и толщине этого слоя. Зная, что при прохождении слоя воды толщиной 2 м поглощается треть первоначального светового потока, найти какая часть света дойдёт до глубины 12 м.
5.3 Пуля, двигаясь со скоростью 
, пробивает стену толщиной 
и вылетает, имея скорость 100 м/c. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время прохождения пули через стену.
5.4 В помещении вместимостью 10 800 кубических метров воздух содержит 0,12% углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04% углекислоты, со скоростью 1500 куб.м/мин. Предполагая, что углекислота распределяется по помещению равномерно в каждый момент времени, найти объёмную долю углекислоты через 10 мин. После начала работы вентиляторов.
5.5 Найти уравнения кривых, у которых длина отрезка нормали постоянна и равна 
.
Домашнее задание.
- Сб.задач Ефимов-Поспелов т.2: №№ 10.86 – 10.95, 10.96 – 10.105, 10.189, 10.193, 10.195, 10.166, 10.169
Дополнительно: Задачи для подготовки к контрольной работе, защите т.р., экзамену:
1.Сб.задач по ДУ Филиппова: №№ 71-100, 173-176
2.Сб.задач по ДУ Романко: №№ 1-95 (стр.20-23), №№ 1-18 (стр.28-29)
