Занятие №2
Дифференциальные уравнения 1-го порядка (2).
Необходимые сведения.
- Уравнения с разделяющимися переменными. Метод разделения переменных:
Если ДУ имеет вид (или может быть приведено к такому виду): 
,
где 
, то оно называется ДУ с разделяющимися переменными.
Тогда 
Отдельно следует проверить, не является ли интегралом ДУ выражение 
.
Если ответ положителен, то это выражение следует добавить к полученному решению.
- Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Уравнения вида 
при 
допускают разделение переменных, если произвести линейную замену 
или 
- Уравнения с однородной правой частью и приводящиеся к ним.
- Если ДУ имеет вид (или может быть приведено к такому виду):
, то оно называется ДУ с однородной правой частью.
Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой:
или 
- Уравнение вида при
сводятся к однородному, если перенести начало координат в точку пересечения прямых
и 
,
т.е. заменой 
, 
, где 
- точка пересечения прямых.
- Некоторые уравнения вида
, где P и Q не являются однородными функциями одного порядка сводятся к однородному заменой 
.
- Линейные ДУ I, уравнения Бернулли и уравнения Риккати.
- Уравнение вида
называется линейным уравнением 1-го порядка.
Структура общего решения такого уравнения: 
,
где 
– общее решение соответствующего однородного уравнения 
,
а 
– частное решение данного неоднородного.
Общее решение однородного легко находится, т.к. переменные разделяются, и оно имеет вид: 
. Общее решение неоднородного ищется в виде 
.
- Уравнение Бернулли – это уравнение вида:
Оно сводится к линейному заменой: 
.
- Уравнение Риккати – это уравнение вида:
Оно сводится к уравнению Бернулли заменой 
, где 
- какое-то решение уравнения Риккати
- Уравнения в полных дифференциалах.
- Уравнение вида , заданное в области D, называется уравнением в полных дифференциалах, если
такая непрерывная в D функция 
, что левая часть уравнения есть полный дифференциал этой функции (
).Тогда решение 
.
Достаточным условием того, что уравнение является ур-нием в полных дифференциалах, служит равенство: 
Дифференциальные уравнения 2 курс 3-ий семестр.
Задачи для решения в аудитории.
1. Найти решения уравнений, удовлетворяющих заданному начальному условию (НУ):
1.1. 
, НУ: 
1.2 
, НУ: 
1.3 
, НУ: 
2. С помощью линейной замены переменных привести уравнение к уравнению с разделяющимися переменными и найти общее решение:
2.1. 
3. Найти общее решение уравнений:
3.1 
3.2 
3.3 
3.4 
3.5 
4. Найти общее решение линейного ДУ I
· методом вариации произвольной постоянной (Лагранжа):
4.1 
4.2 
· не применяя метод Лагранжа (с помощью искусственного приёма):
4.3 
5. Найти ортогональные траектории семейства кривых 
.
6. Решить уравнения, сводя их к линейным:
6.1 
(Бернулли)
6.2 
(Риккати)
Домашнее задание.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
Дополнительно: Задачи для подготовки к контрольной работе, защите т.р., экзамену:
1.Сб.задач по ДУ Филиппова: №№ 51-65, 101-129, 137-160,186-194
2.Сб.задач по ДУ Романко: №№ 1-51 (стр.12-13), 57-87(стр.14-15),1-95 (стр.20-23), 1-18 (стр.28-29)
3.Сб.задач Ефимов-Поспелов т.2: №№ 10.22-10.105,10.130-10.164.
