Обогащение когнитивного опыта учащихся

Когнитивный опыт - это психические механизмы, отвечающие за эффективную переработку информации (в том числе способы кодирования информации, когнитивные схемы, семантические структуры, понятийные структуры).

В ходе изучения математики учащиеся должны прибрести опыт использования разных способов кодирования информации.

Овладению словесно-символическим способом кодирования информации служит учебный материал, который:

• ориентирует на самостоятельную формулировку признаков и определений, а также на сравнение разных словесно-символических форм представления математических объектов;
• предполагает осуществление перевода информации с родного языка на язык математики, и наоборот;
• стимулирует к работе со справочниками, словарями и т.д.

Визуальный способ кодирования информации учащиеся осваивают с помощью учебного материала, требующего:

• использования нормативных образов (таблица разрядов, числовой луч, числовая ось, график функции, площадь фигуры и т.п.) и работы с ними;
• передачи в образных формах существенных характеристик математических объектов;
• активного преобразования наглядного или мысленного образа (вычленения его отдельных элементов, перестройки исходного образа в соответствии с требованиями задачи);
• развития образа в ходе рассуждения;
• самостоятельного создания учениками визуальных моделей тех или иных математических объектов (некоторые из таких моделей впоследствии были включены в учебные тексты, например, в 5-ом классе один из учеников "увидел" запись десятичных дробей в виде фонтана, струи которого симметрично бьют направо и налево из единиц с запятой; в 6-ом классе при изучении темы "Модуль целого числа" у одного из учеников появился образ своеобразной "мясорубки" с двумя входами и одним выходом и т.д.).

Предметно-практический способ кодирования информации представлен в текстах в виде:

• практических и лабораторных работ, предполагающих выполнение определенных предметных действий (например, в 5-ом классе учащиеся для уяснения устройства натуральных чисел и десятичных дробей связывают палочки в пучки и вязанки, измеряют длину различных предметов; в 9-ом классе при работе по теме "Квадратичная функция" - занимаются математическим вышиванием и т.п.);

• заданий, обеспечивающих подключение житейских впечатлений учащихся и т.д. (например, в 6-ом классе мотивировка введения новых отрицательных чисел соотносится с такими практическими ситуациями, как изменение уровня воды в пруду, долг - доход, движение на автомобиле в противоположных направлениях и т.д.).

Чувственно-сенсорный способ кодирования информации развивается благодаря наличию в учебном материале:

• метафор (например, при изучении в 8-ом классе темы "Действительные числа" вводится идея фантастического автомата, работа которого позволяет ученикам понять принцип взаимооднозначного соответствия точек числовой прямой и действительных чисел);
• вопросов, стимулирующих учащихся к эмоциональным оценкам изучаемого материала (Какое из заданий понравилось? Почему? Какой способ решения показался слишком громоздким?);
• невозможных ("волшебных") ситуаций, в которых ученик может дать волю воображению и фантазии (например, в 5-ом классе в теме "Натуральные числа и десятичные дроби" источником невозможных событий оказывается Волшебная шляпа; в 7-ом классе после изучения темы "Алгебраические дроби" вводится дополнительный раздел, посвященный событиям на фантастической планете Кварта, - в этом разделе на особом множестве чисел вводятся новые операции, которые по форме близки к обычным действиям сложения, вычитания, умножения, однако на самом деле обладают неожиданными, непривычными свойствами).

Особое внимание уделяется отработке умения пользоваться разными способами кодирования информации, осуществляя обратимые переводы информации с одного языка кодирования на другой.

Работа над когнитивными схемами предполагает активное привлечение и реорганизацию прошлого опыта учащихся для усвоения нового, формирование у них умения видеть устойчивые, типичные, обобщенные характеристики изучаемых математических понятий и операций. Этому способствуют:

• фокус-примеры, в которых в максимально яркой концентрированной форме воспроизводятся типичные и в то же время существенные свойства математического понятия в виде типичного схематизированного образа или знаковой конструкции (например, в 6-ом классе на этапе мотивации введения отрицательного числа в качестве "фокус-примера" анализируется разность 6-8);
• процедуры опознания, алгоритмы;
• работа с когнитивными схемами в направлении развития их динамичности и структурированности (например, "расшатывание" представления о графике функции как непрерывной гладкой кривой и т.д.).

Формированию семантических структур, то есть системы значений вводимых математических терминов, способствует учебный материал, который:

• раскрывает различные значения одного и того же термина;
• показывает историю развития понятия и связанной с ним терминологии;
• позволяет устанавливать разнообразные связи между рассматриваемыми математическими понятиями;
• определяет предметную область возникновения и использования того или иного математического объекта и т.д.

Работа, направленная на овладение способами кодирования информации, создание у учащихся когнитивных схем, развитие семантических структур, способствует формированию понятийных структур (понятий).

Л.С. Выготский, изучая закономерности умственного развития ребенка, пришел к заключению, что именно образование понятий является ключом к пониманию процессов психологического (в том числе интеллектуального) развития подростка (Выготский, 19826).

Образование понятий - это длительный процесс. И хотя отдельные элементы этого процесса можно зафиксировать на самых ранних стадиях онтогенеза (например, уже сам факт, что ребенок овладел словом, свидетельствует о зарождении способности к обобщению), тем не менее, по Выготскому, собственно понятия появляются только в переходном (подростковом) возрасте примерно с 11-12 лет.

Для современной практики обучения особый интерес представляет поиск ответа на вопрос о том, почему именно с образованием понятий Выготский связывал коренную перестройку всей интеллектуальной деятельности подростка, а также существенные изменения содержания его сознания в целом.

Во-первых, благодаря понятиям подросток начинает понимать связи, отношения, взаимозависимости, скрытые за поверхностью видимых явлений, и, следовательно, постигать закономерности, управляющие действительностью. Кроме того, понятия - это средство упорядочения воспринимаемого мира с помощью "сетки" категориальных и логических отношений, то есть это тот интеллектуальный инструмент, который помогает справиться с хаосом эмпирических впечатлений и организовать их на уровне разумной картины мира.

Во-вторых, с помощью понятий происходит расширение среды сознания подростка. Иными словами, средой для мышления подростка становится весь мир в его многообразии и целостности.

В-третьих, происходит перестройка ("интеллектуализация") элементарных познавательных функций на основе их синтеза с функцией образования понятий: восприятие фактически превращается в наглядное мышление, запоминание начинает опираться на смысловые связи, внимание приобретает произвольный характер и т.д.

В-четвертых, понятия выступают в качестве средства адекватного и полного усвоения исторически сложившегося опыта человечества. Фактически, только через понятия индивидуум открыт культуре и, таким образом, только через понятия осуществляется наиболее эффективная социализация (очеловечивание) индивидуального интеллекта, что создает предпосылки для понимания других людей (и других вариантов культуры).

В-пятых, благодаря формированию понятийного мышления (владению понятиями) содержание мышления становится внутренним убеждением подростка, его интересом, желанием и намерением. Переплетаясь со сложными внутренними моментами личности, содержание мышления становится "достоянием личности, начинает участвовать в общей системе движения этой личности" (Выготский, 1984, с. 71).

В-шестых, понятийный опыт - это основа самопознания, ибо, по словам Выготского, "...только с образованием понятий наступает интенсивное развитие самовосприятия, самонаблюдения, интенсивное познание внутренней действительности, мира собственных переживаний" (там же, с. 65).

Таким образом, мышление в понятиях обеспечивает возможность нового типа понимания объективного мира, возможность понимания других людей и, наконец, возможность понимания самого себя.

Не удивительно, что задача формирования понятийного мышления - это одновременно и задача развития личности и ее отношений с окружающим миром. Именно поэтому в центре предлагаемой нами технологии преподавания математики оказывается требование формирования понятийного мышления учащихся как психологической основы компетентности и важнейшего условия их интеллектуального роста.

В данном случае важно подчеркнуть следующий момент: усвоение понятий (как внешних ребенку единиц научного знания) и образование понятий (как когнитивных структур) - это не тождественные явления. С психологической точки зрения образование понятий - это процесс превращения определенных единиц объективно существующего знания в субъективные ментальные структуры, существующие уже "внутри" опыта человека в качестве психических новообразований (Веккер, 1976; Холодная, 1983). Беспокоиться, следовательно, нужно не просто об усвоении понятий, а о выстраивании в ментальном опыте ребенка понятийных психических структур как психологических носителей понятийного знания.

Понятийные психические структуры - это интегральные когнитивные образования: их психическим материалом являются три модальности опыта - словесно-речевая, визуальная и чувственно-сенсорная. Схематически образование понятий можно представить себе следующим образом (рис. 18):

Рис. 18. Соотношение словесно-речевой, визуальной и чувственно-сенсорной
модальностей опыта в процессе образования понятий

Таким образом, процесс образования понятий предполагает специально разработанную систему заданий, ориентированных на разные составляющие понятийных структур. Выполнение таких заданий в рамках усвоения той или иной математической темы должно обеспечивать подключение чувственно-сенсорных впечатлений учащихся, обратимые переводы информации с языка математических знаков и символов на язык образов (визуальных схем разной степени обобщенности), работу с определениями математических понятий и их признаками, уяснение связей с другими понятиями, а также формирование базовых мыслительных операций.

Далее, содержательное, осмысленное усвоение понятий - это развернутый во времени процесс, в котором могут быть выделены определенные фазы движения мысли, в том числе: мотивировка, категоризация, обогащение, перенос, свертывание. Соответственно последовательность изложения учебного материала должна строиться таким образом, чтобы при этом учитывалась внутренняя динамика мысли ребенка при его постепенном переходе от знания значения нового знака (математической формулы, символического обозначения, словесного определения) к собственно понятийному обобщению этого нового знания.

Наконец, необходимо иметь в виду, что образование понятий осуществляется не только за счет интериоризации готовых сведений об окружающей действительности, но и на основе интеллектуальной самодеятельности ребенка. Учебный текст должен "отпускать" ученика вперед, давать ему возможность самому формулировать определения, вводить и обосновывать признаки понятий и т.п. И тогда выясняется, что дети гораздо умнее, чем нам кажется. Например, уже в 6-ом классе они вполне способны рассуждать так, как в свое время рассуждал великий Л. Эйлер относительно правила умножения целых чисел (Обогащающая модель обучения, 1998).

Таким образом, при конструировании учебных текстов учитывались три аспекта процесса образования понятий:

во-первых, в виде подбора и разработки обучающих заданий, каждое из которых имело своим психологическим адресатом важнейшие характеристики понятийных психических структур;

во-вторых, в виде выстраивания последовательности учебного материала, отвечающей требованию пофазового формирования субъективного образа содержания понятия (Гельфман, Холодная, Демидова, 1993; Gelfman et al., 1996);

в-третьих, в виде предоставления ученику возможности самостоятельно участвовать в процессе усвоения понятий и наполнения их соответствующим содержанием.

Типы обучающих заданий, представленные в учебных текстах:

Задания на подключение предметного (житейского) опыта детей. Образование понятий уходит своими корнями в глубинные структуры индивидуального ментального опыта. Поэтому, добиваясь взаимодействия житейского опыта ребенка (в том числе так называемых житейских понятий) и тех научных знаний, которые предлагаются ему в учебном процессе, мы одновременно решаем две задачи: с одной стороны, под влиянием научного знания происходит актуализация и обогащение чувственно-сенсорных впечатлений ребенка и, с другой стороны, сами чувственно-сенсорные впечатления начинают оказывать активное влияние на процесс образования научных понятий, что в целом обусловливает возможность появления "личностного знания" (М. Полани, 1985).

Задания на формирование способности к словесно-образному переводу, то есть переводу математической информации со знаково-символического "языка" на "язык" рисунков-образов в виде схем, графиков, моделей, предметно-индивидуальных образов. В данном случае речь идет не только о развитии способности к визуализации математического знания (в частности, за счет использования различных визуальных схем), но и о возможности одновременной, взаимообусловленной работы двух основных субъективных способов кодирования информации - словесного и образного - как базового механизма мышления (Веккер, 1976; 1998).
Задания па выделение признаков усваиваемого понятия, ориентирующие ребенка на выявление множества возможных признаков, их дифференциацию, соотнесение различных признаков по степени их значимости и степени обобщенности, систематизацию наиболее существенных признаков и понимание того, что мера существенности или несущественности признака может меняться в зависимости от цели деятельности.
Задания на включение исходного понятия в систему связей с другими понятиями. Принимаются во внимание связи математических понятий с понятиями из других областей знания (физики, географии, биологии, экономики). Кроме того, межпонятийные связи прослеживаются за счет анализа развития того или иного понятия в истории математики и т.д.
Задания на развитие мыслительных операций, лежащих в основе образования понятий (таких, как анализ, синтез, обобщение, сравнение, конкретизация, абстрагирование). Учитывается, в соответствии с позицией Ж. Пиаже, что субъективной мерой овладения мыслительными операциями является их системность и обратимость.

Актуализируя и развивая те компоненты ментального опыта ребенка, которые выступают в качестве основы процесса образования понятий, мы, кроме того, должны "собрать" их воедино с тем, чтобы можно было говорить о действительной сформированности понятийных структур "внутри" опыта ученика. Этому способствовала, на наш взгляд, такая форма организации текста, которая позволяла последовательно выстраивать субъективный образ содержания соответствующего понятия. В учебных текстах были учтены следующие основные фазы образования понятия:

1) мотивировка - создание условий для осознания учащимися необходимости нового способа описания своего предыдущего опыта (житейского, физического, арифметического, алгебраического), например, за счет создания эффекта "невозможности" разрешения ситуации в силу отсутствия на данный момент адекватных понятийных средств ее анализа;
2) категоризация - введение знаково-символического и визуального обозначения понятия с последующим постепенным увеличением степени обобщенности знаково-символического и визуального "языков" представления его содержания, а также ориентация ребенка на выделение отличительных частных и общих (несущественных и существенных) признаков соответствующего понятия;
3) обогащение - накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания (за счет включения разных вариантов его интерпретации, увеличения числа варьирующих по степени существенности признаков, наращивания межпонятийных связей, использования альтернативных контекстов его анализа и т.д.);

4) перенос - применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания;
5) свертывание - экстренная реорганизация всего множества имеющихся у ученика сведений относительно данного понятия и превращение их в обобщенную единицу знания. Иными словами, развернутый на предыдущих фазах субъективный образ понятия на этой фазе должен быть представленным в сжатой, концентрированной форме, что на уровне учебного текста может обеспечиваться такими приемами, как создание "бессмысленных" ситуаций (например, в условиях вынужденного выполнения долгих, громоздких вычислений), работа с предельно "открытыми" заданиями типа: "Составь рекламу для изучения обыкновенных дробей", составление конспектов, введение жесткого ограничения времени на выполнение определенных заданий и т.д.

В качестве примера вкратце рассмотрим содержание основных фаз формирования понятия "рационального числа", последовательность которых учитывалась при конструировании текста учебного пособия "Рациональные числа" (6-й класс).

Мотивировка. Ребенок вместе с Иваном-Царевичем попадает в необычное царство Елены

Прекрасной, где жители используют только лишь числа вида

;

и т.д. Герою, оказавшемуся в новой, непривычной обстановке, нужно разобраться, что это за числа такие и как они соотносятся с известными ему числами, которые в его, Ивановом царстве используются: натуральными числами 1, 2, 3, 7, 9..., десятичными дробями 0,25; 5,7000; 800,333....

Категоризация. Вводятся новые термины: сначала - "числи гель", "знаменатель", "обыкновенная дробь", затем - "рациональное число". Одновременно вводится визуальный ряд, характеризующий отличительные признаки рационального числа в виде разнообразных предметных моделей (разрезанного на доли пирога, безразмерного мешка с дробями и т.п.) и нормативных образов (луча, числовой прямой, отрезка и т.п.).

Обогащение. Чтобы уверенно ориентироваться в мире чисел вида

, ученику вместе с героем приходится осваивать целый ряд дополнительных характеристик этого математического объекта, таких, как "сократимая дробь", "несократимая дробь", "правильная дробь", "неправильная дробь", "смешанное число" и т.д. Кроме того, ученик приобретает новые процедурные знания, то есть, следуя тексту, он пересматривает известные ему операции над числами применительно к действиям с новыми числами. Далее, обогащению содержания понятия рационального числа способствует знакомство ребенка с ситуацией, в которой он может убедиться в том, что между двумя рациональными числами (19 и 20) помещается сколько угодно других рациональных чисел, и т.д.

Перенос. В тексте создаются условия для самостоятельного переноса усвоенных понятий, связанных с рациональным положительным числом, на числа, расположенные левее нуля на числовой оси. В дальнейшем в учебном пособии "Алгебраические дроби" (7-й класс) знания о числе вида

используются в качестве основы для построения теории математических объектов вида

, где A и В - алгебраические выражения.

Свертывание. Накопленные сведения о рациональных числах должны быть свернуты на уровне единого - целостного, обобщенного и динамичного - представления о сути соответствующего математического объекта. Решению этой задачи способствует, в частности, специальный вопросник из 11 вопросов, предлагаемый детям в конце данного учебного пособия. Каждый

вопрос, сформулированный в заведомо парадоксальной форме, выступает в качестве катализатора процесса свертывания знаний ребенка. Например, вопросы типа: "Какими мерками меряют в Ивановом царстве то, что нельзя целой меркой измерить? Какими мерками меряют в Еленином царстве то, что нельзя целой меркой измерить?", "Можно ли узнать, какое царство числами богаче? Иваново? Еленино? Или чисел в царствах поровну?" и т.д.

</div></div>

Фаза "свертывания", по сути, завершает процесс "кристаллизации" опыта относительно определенной сферы математического знания. Этот уровень организации понятийного опыта мы склонны считать основой компетентности как одного из показателей уровня интеллектуального развития личности. Отметим, что аналогичной точки зрения придерживаются В.А. Крутецкий, рассматривающий эффект "свертывания" как ключевой признак математических способностей (Крутецкий, 1968), а также Дж. Уолтере и X. Гарднер, объясняющие экстраординарные интеллектуальные достижения эффектом "кристаллизации" индивидуального опыта (Walters, Gardner, 1986).

Что касается интеллектуальной самодеятельности учащихся в процессе усвоения новых понятий, то в самом учебном тексте предусмотрены такие формы организации учебной информации, которые позволяют ученику мысленно участвовать в процессе рождения нового понятия, пересматривать его содержание по мере углубления представлений о соответствующих математических объектах вплоть до самостоятельного выстраивания нового понятия на базе некоторых исходных понятийных знаний.

Например, после освоения необходимого учебного материала в Главе IV "Вокруг суммы и разности кубов" появляется особый раздел - "§ 1. Параграф, который предстоит написать читателям". На очереди знакомство с новыми тождествами:

а³ + b³ = (а + b) (а² - аb + b ²);

а³ - b³ = (а - b) (а² + ab + b²).

Каждый ученик на основе предложенных рекомендаций и советов должен самостоятельно подготовить текст с использованием нужного, с его точки зрения, материала. Дети придумывают задания, для которых могут понадобиться новые тождества, доказывают их, выделяют существенные и несущественные признаки выражений, для преобразования которых используются данные тождества, составляют тренировочные упражнения с их обоснованием, контрольные работы для самопроверки и т.д. Каждый ученик для описания нового математического объекта сам выбирает жанр, который ему больше нравится (в виде истории в картинках, научного отчета, раздела учебника, пьесы и т.д.).

Учащиеся психологически подготовлены к этой работе, так как они уже привыкли иметь дело с вариативными и неопределенными ситуациями, прогнозировать, анализировать и оценивать свои интеллектуальные действия, доверять собственной интуиции и т.д.

</div></div>

Таким образом, образование понятийных структур, выступающих в качестве носителей понятийного знания, в учебных пособиях МПИ-проекта контролируется с точки зрения учета трех основных аспектов: основных компонентов понятийного мышления, фазовой динамики процесса образования понятий и интеллектуальной самодеятельности учащихся в процессе порождения новых понятий.