При σ = 10, β = 8/3. (ρ* ≈ 24.74) ДС Лоренца имеет следующую зависимость координат от времени (рис. 1) и следующий фазовый портрет (рис. 2)
Рис. 1.
Рис. 2.
1) 1 ≤ ρ < ρ1 ≈ 13.926..
• т. О – неустойчивая,
• точки О1,2 – устойчивые (бистабильность). Зависимость от начальных условий. Две ветви сепаратрисы - Г1 и Г2
При ρ = 13.926..ДС Лоренца имеет следующую зависимость координат от времени (рис. 3) и следующий фазовый портрет (рис. 4)
Рис. 3.
Рис. 4.
При ρ > ρ3 ≈ 148.4
Одно притягивающее множество - предельный цикл (автоколебания).
При уменьшении параметра ρ от ρ3 к ρ* переход к хаосу:
- через каскад бифуркаций удвоения периода.
- через перемежаемость
ДС Лоренца имеет следующую зависимость координат от времени (рис. 5) и следующий фазовый портрет (рис. 6)
Рис. 5.
Рис. 6.
Дополнительная литература
• Анищенко В.С. Детерминированный хаос // Соросовский образовательный журнал, 1997, №6, с.70-76.
• Анищенко В.С. Динамические системы // Соросовский образовательный журнал. 1997,№11, с.77-84.
• Анищенко В.С. Устойчивость, бифуркации, катастрофы // Соросовский образовательный журнал, 2000, №6, с.105-109.
• +Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем. // Соросовский образовательный журнал. 1997, №1, с.115-121.
• Бронштейн Е.М. Новое о квадратном трехчлене. // Соросовский образовательный журнал. 1999, №9, с.123-127.
• Гукенхеймер Дж., Холмс Ф.
• Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. – М.: ДМК Пресс, 2008. – 768 с.: ил. (MATLAB 7.R22. Самоучитель.pdf)
• Малинецкий Г.Г. Хаос. Тупики, парадоксы, надежды. Компьютера, 1998, №47.
• Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П.. Нелинейная динамика и проблемы прогноза. Вестник РАН. 2001, т.71, №3, с.210-232.
• Маневич Л.И. О теории катастроф. // Соросовский образовательный журнал. 2000, №7, с.85-90.
• Медведева Н.Б. Динамика логистической функции. // Соросовский образовательный журнал. 2000, №8, с.121-127.
• Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос. Соросовский образовательный журнал. 1998, №1, с.77-83.
• Фейгин М.И. Особенности поведения динамических систем в окрестности опасных бифуркационных границ // Соросовский образовательный журнал. 1999, №7, с.122-127.
• Фейгин М.И. Динамические системы, функционирующие в сопровождении опасных бифуркаций. // Соросовский образовательный журнал. 1999, №10, с.122-127.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 528 с. (с. 348-353)
• Эйдельман Е.Д. Конвективные ячейки: три приближения теории опытов Бенара. // Соросовский образовательный журнал. 2000, №5, с.94-100.
• Li T.-Y., Yorke J.A. Period three implies chaos.// Amer.MathMonthly. 1975, v.82, pp.982-958.
• Yang S.-K., Chen C.-L., Yau H.-T. Control of chaos in Lorenz system. // Chaos, Solitons and Fractals. 2002, v.13, pp.767-780.
• Zhou T., Chen G., Tang Y. A universal unfolding of the Lorenz system. // Chaos, Solitons and Fractals. 2004, v.20, pp.979-993.
