Алгоритмы моделирования для основных непрерывных распределений

Понятие непрерывной случайной величины

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина , имеющая абсолютно-непрерывное распределение вероятностей, определяемое функцией распределения:

и плотностью распределения:

НСВ имеет следующие основные числовые характеристики:

• среднее значение:

• дисперсия:

На практике для описания НСВ используются модельные непрерывные законы распределения с функциональными характеристиками, заданными в параметрическом виде:

Во многих практических задачах выборку наблюдений нельзя считать однородно, поскольку выборочные наблюдения соответствуют не одной, а нескольким моделям. Распределение такой выборки описывается смесью распределений. В связи с этим, актуальной задачей является задача моделирования смеси распределений.

Основными методами построения моделирующих алгоритмов для непрерывных законов распределения являются: метод обратной функции, метод исключения и метод функциональных преобразований.

В приложениях часто возникает задача моделирования НСВ в условиях априорно неопределенности, когда плотность неизвестна. В этих случаях может осуществляться моделирование СВ с заданной гистограммой или моделирование СВ с заданным полигоном частот. Гистограмма и полигон частот выступают как оценки плотности, построенные по имеющейся выборке экспериментальных данных.

Методы моделирования непрерывной случайной величины

Метод обратной функции

Метод обратной функции является одним из универсальных методов моделирования НСВ ξ с заданной плотностью и функцией распределения .

Пусть – строго монотонная возрастающая функция. Найдем обратную функцию , решая относительно х следующее уравнение: . Известно, что если α – БСВ, то СВ ξ, определяемая выражением: , имеет заданную плотность (функцию распределения ).

Таким образом, имеет место следующий алгоритм моделирования НСВ:

1) Моделируется реализация БСВ ;

2) Принимается решение о том, что реализацией СВ является величина х, определяемая по формуле: ;

3) Коэффициент использования БСВ k = 1.

На этом методе основываются алгоритмы моделирования НСВ с распределениями: равномерным, экспоненциальным, Лапласа, Вейбулла-Гнеденко, Коши, логистическим, гамма-распределением.

Метод исключения

В случаях, когда плотность распределения моделируемой НСВ имеет сложны аналитический ряд, нахождение функции распределения , а тем более обратной функции затруднительно, что делает невозможным применение метода обратной функции для моделирования СВ .

В этом случае может оказаться полезным другой универсальный метод моделирования, называемый методом исключения. Он заключается в следующем.

Обозначим: – область, ограниченную кривой и осью абсцисс. Определим мажорирующую функцию и область . Заметим, что мажорирующая функция должна иметь значительно более простой аналитический вид, чем . Область G при этом также имеет простой вид (треугольный, прямоугольный), позволяющий легко моделировать случайный вектор , равномерно распределенный в области G (например, при помощи метода обратной функции).

Алгоритм моделирования, основанный на методе исключения, включает следующие этапы:

1) Подбор мажорирующей функции ;

2) Моделирование реализации случайного вектора с равномерным распределением в области G;

3) Принятие решения о том, что реализацией является при выполнении следующего условия:

Запись означает, что точка с координатами принадлежит области . Точки , не попавшие в , исключаются из рассмотрения. Отсюда и происходит название метода.

Для моделирования случайного вектора с равномерным распределением в области G полагают:

Моделирование СВ и (при условии, что ) осуществляется по методу обратной функции.

Средний коэффициент использования БСВ , где l – количество БСВ (обычно l = 2), используемых для получения одной реализации (x, y) случайного вектора .

Данный метод используется для построения одного из алгоритмов гамма-распределения.

Алгоритмы моделирования для основных непрерывных распределений

Равномерное распределение

НСВ ξ имеет равномерное распределение на интервале [a, b), обозначаемое R(a, b), если функция и плотность распределения ξ определяются соотношениями:

Для произвольных значение параметров распределения a, b распределение R(a, b) обобщает распределение R(0, 1) БСВ α.

Среднее значение: , дисперсия: .

Алгоритм моделирования СВ ξ основан на методе обратной функции. Обратная функция для находится при решении уравнения относительно х: .

Далее в соответствии с указанным методом алгоритм моделирования реализации СВ включает два шага:

· моделирование реализации БСВ η

· принятие решения о том, что реализацией ξ является величина x:

Коэффициент использования БСВ k = 1.