Перевод из 8-й (16-й) системы счисления в 2-ю систему

Лабораторная работа 2

Представление чисел

В позиционных системах счисления

Теоретическое обоснование

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется системой счисления. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом. Если значение цифры или символа зависит от позиции в ряду цифр или символов изображающих число, то такая система счисления называется позиционной, в противном случае - непозиционной системой.

В любой системе счисления выбирается алфавит, представляющий собой совокупность некоторых символов (цифр или знаков), с помощью которого можно представить любое число. Если алфавит состоит из двух цифр 0 и 1, то система двоичная. В десятичной системе алфавит состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, …, 9. В восьмеричной - из восьми: 0, 1, 2, …,7. В шестнадцатеричной - используется десять цифр 0, 1, 2,…,9 и буквы латинского алфавита A (обозначает цифру 10), B (11), C(12), D(13), E(14), F(15). Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе - разрядностью числа. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, а крайняя справа - младшего разряда.

Алгоритм перевода чисел из 10-й системы в Р-ю (Р-целое, положительное число):

1) Целая и дробная части числа переводятся отдельно.

2) Целая часть числа последовательно делится нацело на величину Р и остатки от деления записываются, начиная с последнего как результат.

3) Дробная часть числа последовательно умножается на Р и целые значения записываются, начиная с первого как результат. Умножение выполняется до получения в дробной части 0 или с указанной точностью (по умолчанию – 6 знаков после запятой).

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

Для перевода правильной десятичной дроби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

 

Перевод из Р-й системы в 10-ю (Р - целое, положительное число):

Любое число Х в позиционной системе счисления P можно представить в виде ряда:

где Х_Р – запись числа в системе счисления с основанием Р; х_i - целое положительное число, меньше Р; n – число разрядов в целой части числа;

m – число разрядов в дробной части числа.

Такая схема называется схемой Горнера.

Алгоритм перевода из Р-й системы в 10-ю:

1) От запятой вправо и влево нумеруются разряды чисел.

2) Каждая цифра числа х_i умножается на основание системы Р в степени номера разряда, результаты складываются.

Пример. Переведем числа, записанные в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную.

Перевод из 2-й в 10-ю систему:

 

Разряды 3 2 1 0 -1
Число 1 0 1 1, =1* .

Из 8-й системы в 10-ю:

Разряды 2 1 0 -1 Число 2 7

Из 16-й системы в 10-ю:

Разряды 2 1 0 Число 1 F

 

Пример.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Примем за х основание неизвестной системы счисления. Пронумеруем разряды и запишем данные числа в развёрнутой форме:

Ответ: десятичное число 18 записывается в виде 30 в системе счисления с основанием 6.

Задания:

1) Среди чисел 10001100₂, 221₈, 96₁₆ какие меньше 146₁₀ и почему?

2) Переведите числа 101,8 и 200,6 в 2-ю, 8-ю, 16-ю системы с точностью до 4-х знаков после запятой. Полученные результаты переведите в 10-ю систему.

3) Равенство 14+3=22 будет истинным в системе счисления с основанием 7, 5, 10 или 2?

4) Определите, в какой системе счисления записано математическое выражение 122+2=201?

Перевод из 8-й (16-й) системы счисления в 2-ю систему

Так как 8=2³ и 16=2⁴, то перевод чисел из 8-й (16-й) системы счисления в 2-ю можно упростить. Каждую 8-ю (16-ю) цифру надо перевести в 2-й вид и представить тремя (четырьмя) разрядами в соответствии с таблицей 1.

Таблица 1- Таблицы соответствия чисел 2-й и 8-й (16-й) систем

8-е цифры	2-е числа		16-е цифры	2-е числа	16-е цифры	2-е числа
					А(10)
					В(11)
					С(12)
					D(13)
					E(14)
					F(15)

Пример 3. Перевести числа 265,12₈ и С4В,25₁₆ в 2-ю систему счисления.

265,128=			101,		0102	=10110101, 001012.
			5,
С4В,2516=			1011,		01012	=110001001011, 001001012.
	C		B,

Справедливо и обратно: для перевода из 2-й системы в 8(или 16) - ю число от запятой в право и влево разделяется по три (для 8-й системы) или четыре (для 16-й системы) разряда. При недостатке разрядов исходное число дополняется слева или справа нолями, что не меняет его величину. Полученные таким образом двоичные числа записываются по таблице 1 как 8-е или 16-е числа. Например:

10110101, 001012=			101,		0102	=265,128.
			5,
110001001011, 001001012=			1011,		01012	= С4В,2516
	C		B,

Задания:

1) Записанное в 16-й системе число 3F, С в 2-й системе с точностью до 2-х знаков после запятой, это: 111111, 11₂; 1111111,01₂; 111101,10₂ или 111110,10₂? Выберите правильный ответ.

2) Записанное в 2-й системе счисления число 100011,11₂ какой вид будет иметь в 16-й системе с точностью до 2-х знаков после запятой?

3) Среди чисел 10110000₂, 167₁₀, AF₁₆ сколько чисел меньше числа 261₈ ?

Двоичная арифметика.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицей 2.

Таблица 2 – Правили выполнения арифметических операций

Двоичное сложение	Двоичное вычитание	Двоичное умножение
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10	0 – 0 = 0 1 - 0 = 1 1 – 1 = 0 10 - 1 = 1	0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают ноль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример. Выполнить сложение двоичных чисел: X=1101, Y=101.

 

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда.

Пример. Даны двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения. Для удобства вычислений рекомендуется складывать по два слагаемых, а затем к полученной сумме прибавлять следующее слагаемое (пример 1.6 а))

Пример. Даны двоичные числа X и Y, вычислить X Y.

а) X=1001 и Y=101

 

 

б) X=1001 и Y=111

 

Для выполнения деления двоичных чисел используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример. Даны двоичные числа X=1100.011 и Y=1001. Вычислить X/Y.

Задания

1. Для каждого из чисел определить разрядность и указать номера старшего и младшего разрядов: а) 12345.034; б) 365; в) -273.1.

2. Представить в виде полинома числа:

а) 51.15₁₀; б) 10110.101₂; в) 37.4₈; г) А7.1Е₁₆.

3. Даны двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X-Y, если:

а) X=1101001; Y=101111;

б) X=101110110; Y=10111001;

в) X=100011001; Y=101011.

4. Даны двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y, если:

а) X=1000011011; Y=1011;

б) X=100101; Y=110;

в) X=100000; Y=101.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое система счисления?

2. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?

3. Что называется основанием и алфавитом системы счисления?

4. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

5. Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры – двоичной?

6. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

7. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

8. Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую позиционную систему счисления?

9. Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную?