Определение коэффициента вязкости жидкости

Цель работы. Изучение закономерностей процессов, связанных с внутренним трением жидкостей, через практическое определение коэффициента вязкости жидкости методами Стокса и вискозиметрии. Освоение методик определения коэффициента вязкости жидкости. Обратить внимание студентов на большое значение коэффициента динамической вязкости биологических жидкостей и его изменений в процессе функционирования организма.

Актуальность. В организме существует множество различных биологических жидкостей (кровь, лимфа, ликвор, глазная жидкость и т.д.). Изменение их физического состояния может являться важным диагностическим (в случае патологии) или физиологическим показателем. Одним из важных физических параметров биологических жидкостей является их вязкость, в значительной мере определяющая закономерности функционирования систем организма.

По объему и физиологическим функциям важнейшей из биологических жидкостей является кровь. Изменение вязкости крови влияет на скорость оседания эритроцитов, что является важным диагностическим показателем. От значения вязкости крови зависит ламинарность или турбулентность движения крови по сосудам, что, в свою очередь, определяет нагрузку на сердце. Вязкость крови необходимо брать в расчет при определении периферического сопротивления сосудов, а, следовательно, она влияет на регуляцию кровяного давления. От величины вязкости биологических жидкостей во многом зависит физиологическое состояние тканей и
органов.

По ходу изложения краткой теории вопроса (в более полном изложении студенты могут изучить её по конспекту лекции, а также по рекомендованным учебникам), мы будем делать ссылки, показывающие связь тех или иных теоретических вопросов с конкретными физиологическими приложениями.

Приборы и принадлежности: цилиндр, заполненный исследуемой жидкостью; металлические шарики; штангенциркуль; секундомер; вискозиметр.

 

Теоретическая часть

Процессы переноса. В физике существует три процесса, получившие общее название процессов переноса. Во-первых, это процесс теплопроводности, когда переносится тепло; во-вторых, процесс диффузии, когда переносится масса и, в-третьих, процесс, в результате которого переносится количество движения. (Напомним, что количеством движения называется величина, определяемая как произведение массы на скорость).

Важное значение процесс переноса количества движения имеет при анализе закономерностей течения жидкостей. Существование этого процесса можно продемонстрировать простым опытом. Представим себе цилиндр, наполненный жидкостью и способный вращаться вокруг своей оси. Первоначально при вращении вместе с цилиндром будет вращаться только пристеночный слой, затем постепенно вся жидкость начинает вращаться как твердое тело. Очевидно, что происходит передача импульса (или количества движения) от слоев жидкости, находящихся непосредственно возле поверхности цилиндра, к слоям, удаленным от его поверхности.

Второй закон Ньютона можно представить в виде: , то есть, скорость изменения количества движения определяет силу, действующую на тело. В случае процесса переноса импульса в жидкости или газе эти силы принято называть силами внутреннего трения или вязкости. Природа этих сил лежит во взаимодействии молекул.

 

Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Хотя между приведенными выше процессами переноса существует аналогия, есть между ними и существенное различие. Оно состоит в том, что теплота и масса являются скалярными величинами, тогда как импульс - величина векторная. Учитывая две характеристики импульса (величину и направление), представим возможные варианты течения жидкости. Первый вариант состоит в том, что в каждой точке жидкости величина и направление вектора импульса не изменяются во времени. Такое течение называется стационарным. В простейшем случае скорость может иметь везде одинаковое направление - такое течение называется ламинарным. Таким образом, при ламинарном течении жидкость движется слоями. Все формулы, которые приведены ниже, справедливы для ламинарного течения жидкости. Альтернативой ламинарному течению является турбулентное течение, когда величина и направление вектора импульса в каждой точке текущей жидкости меняются хаотически. Для каждой текущей по трубе жидкости можно посчитать безразмерную величину по формуле:

(1), которая называется числом Рейнольдса.

В этой формуле R – радиус трубы, – плотность жидкости, – средняя по сечению трубы скорость течения, – коэффициент динамической вязкости, определение которого и является целью настоящей работы. Для каждой жидкости существует такое значение числа Рейнольдса (называемое критическим), при котором ламинарное течение переходит в турбулентное. Для гладких цилиндрических труб критическое число Рейнольдса приблизительно равно 2300.

Число Рейнольдса и скорость течения крови в аорте. Используя формулу (1), рассчитаем число Рейнольдса для течения крови по аорте. Согласно большинству исследований, вязкость крови h = 4,5×10^-3 Па×с, (при t=37⁰С), радиус аорты – 0,75×10^{-2 м, плотность крови =1,06}×10³кг/м³, линейная скорость течения крови в аорте = 0,45 м/с. Подставляя эти значения в формулу (1), получим, что число Рейнольдса в этом случае будет равно: . Это значение достаточно далеко от значения 2300, поэтому даже в аорте движение крови является в норме ламинарным.

 

Основной закон вязкого течения. Уравнение Ньютона. Уравнение Ньютона (или основной закон течения вязкой жидкости) определяет силу трения между слоями при ламинарном течении жидкости или газа.

Пусть жидкость находится между двух бесконечных пластин (рис. 1). Нижняя пластина неподвижна, верхняя движется горизонтально с постоянной скоростью ₀. За счет сил межмолекулярного сцепления верхний слой жидкости «прилипает» к движущейся пластине и движется с той же скоростью ₀. Следующий слой за счет сил внутреннего трения ускоряется

 

Рис.1. Иллюстрация к рассмотрению вязкого течения жидкости

 

верхним слоем и, в свою очередь, тормозит верхний слой. Следующий слой ускоряется вторым и, в свою очередь, тормозит его и т.д.

Таким образом, для того, чтобы верхняя пластина двигалась с постоянной скоростью, к ней должна быть приложена постоянно действующая сила. Эта сила должна быть уравновешена тормозящей силой (ведь движение верхней пластинки равномерное и прямолинейное – первый закон Ньютона). Следовательно, сила, приводящая в движение верхнюю пластину, должна быть равна тормозящей силе всех слоев. Эта тормозящая сила и есть сила трения между слоями жидкости.

Зафиксировав скорость движения верхней пластины и изменяя жидкость между пластинами, можно измерить силу, которую необходимо приложить к верхней пластине, чтобы она двигалась равномерно с зафиксированной скоростью. Для разных жидкостей мы получим различные значения этой силы. Следовательно, силу трения между слоями жидкости характеризует некоторое число , которое называется коэффициентом динамической вязкости.

Напомним, что нашей задачей является написание уравнения, определяющего силу трения между слоями текущей жидкости. Выделим два слоя жидкости (см. рис.1), например, первый и второй. Чем больше сила трения между ними, тем меньше будет скорость второго слоя по отношению к первому, т.е. тем больше будет разность ₁- ₂, где ₁- скорость течения первого слоя, а ₂-скорость течения второго слоя. Следовательно, сила трения прямо пропорциональна разности скоростей: чем быстрее уменьшается скорость при переходе от слоя к слою, тем больше сила трения.

Таким образом, сила трения определяется скоростью изменения скорости течения жидкости от слоя к слою. Поскольку любая скорость изменения физической величины есть производная и скорость течения слоев жидкости изменяется вдоль оси Z, мы приходим к заключению, что сила трения прямо пропорциональна производной . Производную по расстоянию принято называть градиентом и обозначать как . Очевидно, что, чем больше поверхность соприкасающихся слоев жидкости, тем больше будет и сила трения.

Таким образом, сила трения также прямо пропорциональна площади поверхности соприкасающихся слоев. Обозначим эту площадь через S. Итак, мы можем записать .

До сих пор мы рассматривали течение жидкости безотносительно к тому, что это за жидкость, поэтому полученное соотношение справедливо для любой жидкости. Для того чтобы учесть конкретную жидкость, введем в полученное соотношение коэффициент пропорциональности (свой для каждой конкретной жидкости). Обозначим его через . Тогда будем иметь:

(2) – Уравнение Ньютона.

В этом уравнении η – коэффициент динамической вязкости.

В заключение сделаем следующее замечание. Приведенные выше рассуждения ни в коем случае нельзя рассматривать как вывод формулы Ньютона, поскольку эта формула получена экспериментально.

Из формулы Ньютона (2) получаем:

η = (3).

Размеренность η в системе СИ Па· с, в системе СГС Пз (пуаз).

Итак, коэффициентом динамической вязкости называется физическая величина, численно равная силе внутреннего трения, возникающей при ламинарном течении между слоями жидкости с площадью соприкосновения слоев 1 м² при градиенте скорости, равном единице.

Коэффициент динамической вязкости определяет быстроту передачи импульса из одного места потока в другое.

Величина равная,

(4),

где ρ – плотность жидкости, называется кинематической вязкостью. Единица измерения [ n ]: система СИ – м²/с, система СГС – Стокс.

Размерность коэффициента кинематической вязкости в системе СИ совпадает с размерностью коэффициента диффузии. На этом основании можно считать, что кинематическая вязкость представляет собой как бы «коэффициент диффузии» для скорости, то есть определяет быстроту выравнивания скоростей потока.

Величина:

(5) называется текучестью жидкости

Величина коэффициента вязкости зависит от рода жидкости, химического состава, температуры. Если же кроме перечисленных выше параметров на величину коэффициента вязкости влияет также направление скорости в разных местах движущейся жидкости и давления, то такие жидкости называются неньютоновскими, то есть, не подчиняющимися уравнению Ньютона (суспензии, высокомолекулярные жидкости). Кровь - неньютоновской жидкость.

Приведем некоторые значения динамической вязкости, имеющие практически важное значение:

для воды: h = 1,79 ×10^-3 Па×с, (при t=0⁰С), h = 1,00 ×10^-3 Па×с (при t=20⁰С);

для крови: h = 4,5 ×10^-3 Па×с, (при t=37⁰С), для плазмы крови: h = 1,5 ×10^-3 Па×с (при t=0⁰С).

При патологии вязкость крови колеблется от 1,7×10^-3 Па×с до 22,9×10^-3 Па×с, что сказывается на скорости оседания эритроцитов (СОЭ). Венозная кровь обладает несколько большей вязкостью, чем артериальная. Вязкость крови увеличивается при тяжелой физической работе.

 

Распределение скоростей течения жидкости в цилиндрическом сосуде. Представим себе жидкость, текущую по цилиндрической трубе (рис. 2). Такая труба является моделью течения крови по сосудам. Поскольку существует внутреннее трение и межмолекулярное взаимодействие молекул жидкости со стенками трубы, линейная скорость течения жидкости будет меньше у стенок трубы и больше у осевой линии.

 

Рис.2. Профиль скоростей течения жидкости по сосуду.

 

Следовательно, скорость течения того или иного слоя жидкости будет функцией расстояния от осевой линии (r). С ростом этого расстояния (то есть, по мере приближения к стенкам трубы) скорость будет уменьшаться. Расчеты показывают, что линейная скорость течения жидкости в цилиндрическом сосуде на расстоянии r от осевой линии определяется следующим соотношением:

(5).

 

В этом соотношении (м/с) – линейная скорость течения по трубе вязкой жидкости, – разность давлений на торцах сосуда (Па), l – длина сосуда в метрах, R – радиус сосуда в метрах, r – расстояния от осевой линии сосуда до места измерения скорости (в метрах), а (Па· с) – коэффициент динамической вязкости.

Как видим из уравнения (5), коэффициент динамической вязкости входит в эту формулу в знаменателе, следовательно, чем больше коэффициент вязкости, тем меньше линейная скорость текущей жидкости при одной и той же разности давлений на торцах. Но чем меньше линейная скорость текущей крови, тем меньше крови достигает внутренних органов в единицу времени, тем хуже кровоснабжение органов, тем больше усилий должно развивать сердце, чтобы обеспечить нормальное кровоснабжение.

Уравнение (5) легко преобразовать в обычное квадратичное уравнение. Вспоминая, что все величины в формуле (5), кроме r, являются постоянными, уравнение (5) можно записать как:

(6),

где , а . При постоянной разности давлений на торцах сосуда ( = const) А и В являются постоянными, следовательно, уравнение (6) является уравнением параболы.

Таким образом, можно утверждать, что текущая в цилиндрической трубе жидкость имеет параболический профиль скоростей (рис. 2) с нулевым значением у стенок и с максимальным значением вдоль осевой линии. Далее мы убедимся, что этот факт имеет большое физиологическое значение.

Объемная скорость течения жидкости. Уравнение Пуазейля. Можно получить более точную оценку кровоснабжения органа, рассматривая не линейную, а объемную скорость кровотока. По определению, объемная скорость течения жидкости равняется объему жидкости, проходящему через поперечное сечение сосуда в единицу времени. Объемная скорость кровотока позволяет судить о кровоснабжении органа более полно, чем линейная скорость, хотя эти значения связаны между собой.

Объемная скорость ньютоновской жидкости при ламинарном течении определяется формулой Пуазейля:

(7),

где – объемная скорость (м³/с). Остальные обозначения такие же как в формуле (5). Так же, как в случае линейной скорости (формула 5), коэффициент динамической вязкости стоит в знаменателе формулы, следовательно, при прочих равных параметрах объемная скорость жидкости с большей вязкостью будет меньше. В формуле (7) радиус сосуда входит в четвертой степени. Это означает, что даже небольшое изменение радиуса сосуда будет приводить к значительным изменениям объемной скорости течения жидкости через этот сосуд.

Не стоит удивляться тому обстоятельству, что природа изобрела несколько механизмов изменения тонуса сосудов системы кровообращения, поскольку изменение тонуса сосуда приводит к изменению его радиуса и, следовательно, позволяет эффективно регулировать кровоток через него. В частности, при атеросклерозе происходит утолщение стенок сосуда, что приводит к уменьшению его радиуса и резкому снижению объемного кровотока через него. Вводя мышечные релаксанты, можно расслабить мышцы стенки сосуда и тем самым увеличить его эффективный радиус. Это приводит к значительному увеличению объемной скорости, улучшению кровоснабжения органов и уменьшению нагрузки на сердце.

Уравнение неразрывности струи. После введения понятий объемной и линейной скорости течения жидкости можно задаться вопросом о соотношении между ними. Если мы имеем замкнутую разветвленную систему сосудов, и в этой системе нет точек, через которые дополнительная жидкость поступает в систему (истоки), или точек, через которые жидкость уходит из системы (стоки), то количество жидкости в системе остается постоянным.

В случае кровеносной системы, хотя она и замкнута, это правило выполняется не совсем точно. Например, есть такое депо крови, как селезенка, которая, депонируя кровь или отдавая ее в кровеносное русло, регулирует количество циркулирующей крови. Кроме того, количество циркулирующей крови может изменяться за счет механизмов кроветворения или лимфообразования. Однако в норме влиянием этих процессов можно пренебречь и в первом приближении считать, что количество циркулирующей в организме крови постоянно. Допустим теперь, что в нашей замкнутой системе есть отдельные точки, в которые жидкости приходит меньше, чем уходит. Очевидно, что в этом случае в этих точках поток жидкости должен прерваться и образоваться пустота. Абсурдность этого вывода очевидна. Таких точек быть не может. Следовательно, какое бы место нашей системы мы не рассматривали, количество приходящей жидкости и количество уходящей жидкости должно быть одинаковым. Запишем этот факт математически.

Обозначим через (м/с) среднюю линейную скорость жидкости, проходящую через некоторое поперечное сечение нашей системы S (м²). Тогда объемная скорость жидкости Q (м³/с) через это сечение S будет задаваться соотношением: Q = · S. Исходя из наших допущений, что система замкнута и количество жидкости в ней постоянно, становится очевидным, что

Q = · S = const (8)

для любого сечения системы. Это и есть уравнение неразрывности струи.

Итак, для сплошного течения несжимаемой жидкости выполняется условие неразрывности струи: через любое сечение струи в единицу времени протекают одинаковые объемы жидкости.

Несмотря на простоту, уравнение (8) имеет большое физиологическое значение. Это еще один пример того, как природа использует для функционирования живого физические закономерности, характерные для неживого.

В гемодинамике принято следующее положение: любое сечение сердечно-сосудистой системы представляет собой поперечный разрез всех кровеносных сосудов одного уровня ветвления. Например, в большом круге кровообращения:

o первое сечение проходит через аорту;

o второе сечение проходит через все артерии;

o третье сечение проходит через все ветви артерии;

o четвертое сечение проходит через все капилляры;

o пятое сечение – это сумма площадей верхней и нижней полых вен.

Это положение приводит к заключению, что хотя для первых четырех ветвлений поперечное сечение каждого отдельного сосуда уменьшается, их суммарное сечение растет. Например, самым узким сечением обладает аорта (S ≈ 4 см²). Самое обширное сечение приходится на уровень капилляров (S ≈ 11 000 см², из которых лишь через 3 000 см² течет кровь; остальные капилляры находятся в спавшем состоянии).

Следовательно, площадь суммарного просвета капилляров, в которых есть кровоток, в 700 – 800 раз больше поперечного сечения аорты. С учетом условия неразрывности струи, требующем, чтобы объемная скорость оставалась постоянной, приходим к выводу, что линейная скорость кровотока в капиллярной сети в 700 – 800 раз меньше, чем в аорте и составляет около . Средняя скорость в аорте лежит в пределах от 0,4 до . Если вспомнить, что обмен веществ между кровью и органами осуществляется в основном на уровне капилляров, то ясно, что как малая скорость течения крови через капилляр, так и тонкая стенка капилляра весьма способствуют скорости этого обмена.

Представим схему соотношения между суммарным сечением каждой генерации сосудов (S) и линейной скоростью кровотока ().

Рис. 3. Соотношение линейной и объемной скорости течения крови по сосудам на разных уровнях ветвления кровеносной системы.

Строгая зеркальная симметрия двух кривых хорошо иллюстрирует закон неразрывности струи. Действительно, для любой точки А произведение . Q – объемная скорость кровотока (остальные обозначения - смотри на чертеже).

Итак, первое свойство движения крови по сосудам состоит в том, что линейная скорость кровотока максимальна в аорте и минимальна в капиллярах. Напомним, что именно в капиллярах происходит обмен веществ.

Рассматривая распределение скоростей в поперечном сечении (см. рис. 2), мы отметили, что такое распределение скоростей важно с физиологической точки зрения. Попытаемся продемонстрировать это.

Уравнение Бернулли. Применение закона сохранения энергии к ламинарному течению идеальной жидкости (без вязкости и несжимаемой) приводит к уравнению Бернулли (вывод мы опускаем).

(9)

где Р – это статическое давление (оно не связано с движением жидкости и может быть измерено манометром, перемещающимся вместе с жидкостью).

Представим себе резиновый шар в невесомости, наполненный под давлением водой. Если мы сделаем небольшие отверстия в этом шаре, вода будет изливаться из него струей независимо от расположения отверстия. Давление, которое заставляет воду выливаться из шара, в данном случае и есть статическое давление.

– это динамическое давление (оно обусловлено движением жидкости, зависит для конкретной жидкости только от скорости). Это давление испытал каждый, кто хоть однажды стоял под душем.

Покажем, что величина имеет размерность давления. .

В данном случае последовательно использовались следующие соотношения: , плотность есть масса, деленная на объем. , кинетическая энергия равна половине массы, умноженной на квадрат скорости. Работа, как мера энергии, равна силе, умноженной на длину, а объем есть площадь, умноженная на ту же длину: .

Аналогичным образом можно показать, что и величина имеет размерность давления.

Сумма: – это полное давление.

– это весовое давление. В состоянии невесомости весовое давление отсутствует, поскольку в этом случае . Оно также отсутствует, если сосуд расположен параллельно поверхности. В этом случае .

Таким образом, в различных точках тока идеальной жидкости сумма статического, динамического и весового давления одинакова. Вернемся к рис. 2. Сосуд расположен параллельно поверхности земли, следовательно, , весовое давление отсутствует. В точках, близких к стенкам сосуда, скорость движения жидкости близка к нулю, и, следовательно, динамическое давление также близко к нулю. Значит, остается только статическое давление, и около стенок оно будет максимальным. По оси сосуда скорость максимальна, следовательно, на оси максимально динамическое давление. Значит, исходя из уравнения Бернулли, на оси статическое давление будет минимально, ведь сумма давлений всегда должна давать одно и тоже число!

Итак, мы вынуждены сделать вывод, что существует избыточное давление, направленное от стенок к оси, равное разности статистических давлений у стенок и на оси сосуда. Это избыточное давление будет действовать на все форменные элементы, переносимые кровью, и выталкивать их в направлении оси сосуда, не давая им прилипнуть к стенке и тем самым затруднить ток крови по сосудам! Рис. 4 иллюстрирует приведенные выше рассуждения.

 

Практическая часть