МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
Материалы для самоподготовки
К ЕГЭ и ГИА
по планиметрии
Часть 3
Применение тригонометрических формул
при решении планиметрических задач.
Автор-составитель:
СМИРНОВА
ГАЛИНА ВАСИЛЬЕВНА
Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач.
Задания с решением
1.В треугольнике ABC 
. Найдите AC.
Решение
Построим 
. По свойству равнобедренного треугольника СН будет медианой, а значит АН =4,8. В прямоугольном треугольнике АСН 
. Значит 
Найдем 
. Рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла А
sin 2 
+ cos 2 = 1 и подставим в него вместо 
его значение 
.
Получим соs 2A+ 
= 1
Тогда соs 2A = 1- ; соs 2A =1 
; соs 2A = 
Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что A – острый угол и его косинус положителен Получаем 
Тогда 
Ответ 5
2. В тупоугольном треугольнике ABC 
, высота AH равна 20. Найдите 
.
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
. В нем 
.По теореме Пифагора 
Тогда 
Но 
, так как эти углы смежные. Тогда 
По формулам приведения получаем 
Ответ -0,6
3.В треугольнике ABC 
, 
, тангенс внешнего угла при вершине A равен 
. Найдите AC.
Решение
Углы МАС и САH – смежные. Их сумма равна 180º.Тогда по формулам приведения 
Построим CH – высоту. Тогда она и медиана и потому AH =4.Из треугольника ACH 
Откуда 
Найдем 
.
Подставим в это тождество найденное значение тангенса.
Получаем 
Ответ 7
4.В треугольнике АВС угол А равен 45º, угол В равен 30º, ВС = 8. Найти АВ
Решение
Так как сумма углов в треугольнике 180º, то угол С=180º- 30º-45º=105º,
Применим теорему синусов 
, то есть 
Найдем 
. Применим формулы сложения
Имеем 
Ответ 
5. Трапеция вписана в окружность радиуса 12. Её большее основание образует с боковой стороной угол, синус которого равен 5/8, а с диагональю – угол, косинус которого равен 4/5. Найти площадь трапеции.
Решение
Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная
Так как окружность описана около трапеции, то она описана и около треугольника ACD. Применим к этому треугольнику теорему синусов 
получаем 
Отсюда имеем 
; 
пусть СМ=h – высота. Из треугольника CMА получаем 
, то есть 
.Тогда 
По теореме Пифагора 
Из треугольника CMD получаем по теореме Пифагора 
Так как трапеция равнобедренная, то 
Тогда площадь трапеции равна S= 
Ответ 108
Задания для самостоятельного решения
1. В треугольнике ABC угол C равен 
, 
. Найдите 
.
2. В треугольнике ABC угол C равен , 
. Найдите 
.
3. В треугольнике ABC угол C равен , 
, 
. Найдите BC.
4. В треугольнике ABC угол C равен , 
, 
. Найдите AB.
5. В треугольнике ABC угол C равен , 
, 
. Найдите BC.
6. В треугольнике ABC угол C равен , 
, . Найдите AB.
7. В треугольнике ABC угол C равен , 
, 
. Найдите AB.
8. В треугольнике ABC угол C равен , 
, 
. Найдите 
.
9. В треугольнике ABC угол C равен , , 
. Найдите .
10. В треугольнике ABC угол C равен , 
, 
. Найдите .
11. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, 
, 
. Найдите BH.
12. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, , 
. Найдите AH.
13. В треугольнике ABC 
, . Найдите AB.
14. В треугольнике ABC , 
, . Найдите AC.
15. В треугольнике ABC 
, . Найдите .
16. В треугольнике ABC 
, . Найдите .
17. В треугольнике ABC 
, . Найдите .
18. В треугольнике ABC , . Найдите высоту CH.
19. В треугольнике ABC , 
, 
. Найдите высоту CH.
20. В треугольнике ABC , высота CH равна 20. Найдите .
21. В треугольнике ABC , высота AH равна 4, . Найдите 
.
22. В треугольнике ABC , высота AH равна 20, . Найдите 
.
23. В треугольнике ABC , AH — высота, , 
. Найдите .
24. В треугольнике ABC , AH — высота, , 
. Найдите .
25. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, 
, . Найдите .
26. В треугольнике ABC угол C равен , высота CH равна 20, . Найдите .
27. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 20. Найдите .
28. В тупоугольном треугольнике ABC , AH — высота, 
. Найдите 
.
29. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 24, 
. Найдите .
30. В тупоугольном треугольнике ABC , высота AH равна 4, 
. Найдите 
.
31. В треугольнике ABC , высота AH равна 7, 
. Найдите .
32. В треугольнике ABC , высота AH равна 24, 
. Найдите .
33. В треугольнике ABC , высота AH равна 4, 
. Найдите 
.
34. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, 
, 
. Найдите BH.
35. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, 
, . Найдите AH.
36. В треугольнике ABC угол C равен , 
. Найдите синус внешнего угла при вершине A.
37. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.
38. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
39. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине B.
40. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине B.
41. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.
42. В треугольнике ABC угол C равен , 
. Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.
43. В треугольнике ABC угол C равен , 
. Найдите синус внешнего угла при вершине B.
44. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине B.
45. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.
46. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине
47. В треугольнике ABC угол C равен , 
. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
48. В треугольнике ABC угол C равен , 
. Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.
49. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите синус внешнего угла при вершине A.
50. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.
51. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
52. В треугольнике ABC угол C равен , 
, 
. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
53. В треугольнике ABC угол C равен , 
, 
. Найдите синус внешнего угла при вершине A.
54. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите .
55. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен 
. Найдите .
56. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен 
. Найдите .
57. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите 
.
58. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен 
. Найдите 
.
59. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен 
. Найдите .
60. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите Задание B6 (№ 27394)
61. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен 
. Найдите .
62. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен . Найдите 
.
63. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен 
. Найдите
64. В треугольнике ABC угол C равен , косинус внешнего угла при вершине A равен , . Найдите BC.
65. В треугольнике ABC угол C равен , тангенс внешнего угла при вершине A равен , 
. Найдите AC.
66. В треугольнике ABC угол C равен , тангенс внешнего угла при вершине A равен 
, . Найдите BC
67. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен , . Найдите AB.
68. В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен , . Найдите BC.
69. В треугольнике ABC , 
. Найдите синус внешнего угла при вершине A.
70. В треугольнике ABC , , тангенс внешнего угла при вершине A равен . Найдите AC.
71. В параллелограмме ABCD 
. Найдите 
..
72. В параллелограмме ABCD 
. Найдите .
73. Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0, 0) и A (6, 8), с осью абсцисс.
