Схема аксиоматического построения геометрии выглядит следующим образом.
1. Рассматривается множество элементов произвольной природы, которые как-то условно называют и обозначают. Далее также условно обозначают операции и отношения между элементами этого множества.
2. Даётся список аксиом, выражающих свойства основных отношений или операций.
3. Даются определения остальных понятий и путём логических рассуждений выводятся теоремы.
Система аксиом геометрии Лобачевского включает в себя: восемь аксиом связи, четыре аксиомы порядка, пять аксиом конгруэнтности, аксиому непрерывности и аксиому Лобачевского.
Основные объекты: точка, прямая, плоскость.
Основные отношения: „принадлежать", „лежать между", „быть конгруэнтными”.
Аксиомы связи
- Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти две точки.
- Каковы бы ни были две точки, существует не более одной прямой, проходящей через эти две точки.
- На каждой прямой лежат две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
- Каковы бы ни были три точки, существует плоскость, их содержащая. На каждой плоскости есть хотя бы одна точка.
- Для любых трёх точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей эти три точки.
- Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
- Если две плоскости имеют общую точку, то существует, по крайне мере, ещё одна общая точка.
- Существуют, по крайне мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Аксиомы порядка
- Если имеет место ABC (точка В лежит между точками А и С), то А, В, С - три различные точки, лежащие на одной прямой, и имеет место СBA.
- Для любых двух точек А и В существует, по крайне мере, одна точка С такая, что имеет место АВС.
- Из любых трёх точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.
- (Аксиома Паша). Пусть даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек. Если на прямой а есть точка, лежащая между точками А и В, то на прямой а есть точка, лежащая либо между В и С, либо между А и С.
Определение. Отрезком АВ назовём множество всех точек С, лежащих между А и В, и сами эти точки.
Обозначение. [ AB] - отрезок АВ.
Определение. Лучом ОА назовём множество всех точек Х, что имеет место.
Обозначение. [ ОА) - луч ОА.
Аксиомы конгруэнтности
· Дан отрезок UV и луч А а. Тогда существует точка В [Aa) такая, что [AB] [UV] и [AB] [BA].
· Если [AB] [UV], [CD] [UV], то [AB] [CD].
· Если имеет место АВС и и [AB] [],[BC] [], то [AC] [].
Определение. Углом назовём совокупность двух лучей с общим началом.
Определение. Треугольником АВС назовём совокупность отрезков АВ, ВС, СА.
. Дан угол (u,v) и луч А а с заданной полуплоскостью, тогда в указанной полуплоскости существует единственный луч [A b) такой, что (а, b) (u,v) и всякий угол конгруэнтен самому себе.
. Пусть дан АВС и, [AB] [AB], [AC] [AC],. Тогда.
Аксиома непрерывности
IV. Пусть все точки прямой разбиты на два класса так, что выполняются условия:
1. Оба класса не пусты.
2. Каждая точка прямой отнесена к одному и только одному из классов.
3. Каждый класс есть выпуклое множество.
Тогда в одном из классов существует граничная точка, т.е. такая точка, которая не лежит между двумя точками одного и того же класса.
Аксиома Лобачевского
V. Через точку, взятую вне прямой, в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести по крайне мере две прямые, не пересекающие данную прямую.
В связи с аксиоматическим построением теории возникают следующие три вопроса является ли данная система аксиом:
1) непротиворечивой,
2) независимой,
3) полной.
Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя получить путём логических рассуждений двух взаимно исключающих утверждений a и.
Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом системы S нельзя вывести из остальных.
Система аксиом называется полной, если с помощью её можно доказать или опровергнуть любое предложение, сформулированное в терминах этой аксиоматики.
Исследование аксиоматики по этим трём вопросам связано с построением модели (реализации, интерпретации).
Построить или задать интерпретацию (модель) системы аксиом S - это значит:
1. Задать конкретное множество элементов произвольной природы, условно именуемых точками, прямыми, плоскостями;
2. Так определить отношения между элементами, условно выражаемые словами „принадлежать”, „между”, „быть конгруэнтным”, чтобы выполнялись все аксиомы системы S.
Имеет место следующая теорема:
Теорема. Система аксиом S непротиворечива, если она допускает хотя бы одну реализацию.
Доказательство. Допустим, что S - противоречива, т.е. S> a и S>. Пусть R - реализация S, тогда в R имеет место a и, что невозможно в силу конкретности основных понятий в R.
