Б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

В) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение: Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает сомнение, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

 

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

или .

Находим: x ₁ = -2, x ₂ = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A (-2; 0), B (4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Пример 7.

a) Необходимо найти определенный интеграл

 

Имеем:

Таким образом искомый интеграл равен 6.

b)Вычислить интеграл:

Решение:

=(3 + 4 +5x) = +2 -

- ( +2 26- 8=18.

Пример 8. Найти неопределенные интегралы:

 

 

Решение

При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.

 

 

б) Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:

 

 

в)

 

г) Будем использовать подстановку:

 

 

д) Воспользуемся подстановкой:

 

1) Вычислить определенные интегралы:

 

Решение

При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница

 

. Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.

 

б)

 

 

Пример 8.

1) Выполнить действия сложения, вычитания, умножения, деления над комплексными числами в алгебраической форме.

Z₁=3+4i, Z₂=2i¹⁸-5i¹⁵

Решение

Предварительно преобразуем второе число, используя значения степеней мнимой единицы. i¹⁸=i¹⁶⁺²=i¹⁶i²=1i²=-1, i¹⁵=i¹²⁺³=i¹²i³=i³=-i, Z₂=-2+5i

Выполним действия над числами:

Z₁+Z₂=(3+4i)+(-2+5i)=3+4i-2+5i=(3-2)+(4i+5i)=1+9i

Z₁-Z₂=(3+4i)-(-2+5i)=3+4i+2-5i=(3+2)+(4i-5i)=5-I

Z₁ ^.Z₂=(3+4i) ^. (-2+5i)=-6+15i – 8i +20i²=-6+7i – 20= - 26 + 7i

 

Пример 9.

 

a) Имеется набор разноцветных шариков, среди которых 5 синих, 3 красных и 2 зеленых. Наугад извлекают 4 шарика. Найти вероятность того, что среди извлеченных шариков 2 синих, 1 красный и 1 зеленый.

Решение

Для определения вероятности случайного события будем использовать классическую формулу , в которой n – число всех возможных исходов, m- число исходов, благоприятных появлению события. В задаче значения этих величин следует находить при помощи сочетаний.

b) Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».

Решение

В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий

А – получение слова «роман»;

В₁ – извлечение первой карточки с буквой «р»;

В₂ – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д.

Тогда А=В₁ ^. В₂ ^. В₃ ^. В₄ ^. В₅

Р(А)=Р(В₁) ^. Р(В₂) ^. Р(В₃) ^. Р(В₄) ^. Р(В₅)=