Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии

Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.

Поле стационарно, если оно не зависит явно от времени, т.е.

Уравнения Максвелла в этом случаем принимают вид:

+ связи:

В электростатике используются первое и третье уравнения, а в магнитостатике второе и четвертое.

Связь полей с потенциалами:

 

 

Объёмная плотность точечного заряда.

 

Рассмотрим систему из точеченого заряда

Здесь возникает необходимость использовать -функцию.

Тогда:

Это соответствует случаю, когда заряд помещён в начало координат, а плотность заряда ищется в точке, с радиус-вектором .

Если же заряд помещён не в начало отсчёта, то плотность заряда перепишется в следующем виде:

В случае системы точечных зарядов имеем:

 

Для изображения плотности точечного источника всегда используется -функция.

Волновое уравнение в случае вакуума.

 

 

Аналогично уравнение получаем для :

Здесь будем использовать калибровку поперечных волн (), т.к. в вакууме электромагнитные волны плоские поперечные волны. Тогда:

 

Закон сохранения заряда.

 

Запишем уравнение Максвелла: . Подействуем на него оператором скалярно. Получаем:

Но дивергенция всякого ротора равна нулю, поэтому в результате получаем:

 

- уравнение непрерывности

Проинтегрируем обе части этого уравнения по некоторому объёму:

 

, где -единичный вектор нормали

определяет количество заряда выносимого через поверхность объёма. Если - острый, то заряд выносится из объёма и -положителен. Если тупой, то заряд приходит в объём и - имеет знак минус.

Типы калибровок.

 

Перепишем уравнения Максвелла:

 

1.Калибровка Лоренца

 

Тогда уравнение первое уравнение Максвелла перепишется в следующем виде:

- уравнение Даламбера

Это уравнение есть – неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных.

- оператор гиперболического типа.

Для 4-го уравнения Максвелла имеем:

Все, имеющие физический смысл, результаты должны быть градиентно-инвариантыми:

В силу калибровки Лоренца получаем:

Т.е. функция должна удовлетворять однородному уравнению Даламбера (его ещё называют волновым уравнением)

 

2.Калибровка Кулона

- калибровка Кулона

Уравнение (А) перепишется в следующем виде:

- уравнение Пуассона.

Если же (в пустоте), то уравнение Пуассона принимает вид:

-уравнение Лапласа.

 

получаем, что функция должна удовлетворять уравнению:

3.Калибровка поперечных волн

Полагаем есть функция только координат.

Значит функция должна удовлетворять уравнению:

 

 

 

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.

 

 

 

С помощью этих уравнений можно описывать электромагнитное поле в среде. В среде будем ставить индекс «»=микро

 

 

включает в себя как связанные, так и свободные заряды в веществе. Каждой точке пространства ставится в соответствие функция . Это значит, что мы заменяем реальную среду моделью – сплошной средой, т.е. мы свойства разных точек «размазываем» по пространству. Существуют следующие способы описания сплошной среды на основе реальной среды:

1. Усреднение по некоторому физическому объёму и времени .

2. Статистическое усреднение. Считаем что у нас есть макроскопически-идентичный ансамбль систем(т.е. все внешние условия одинаковы). Здесь производятся измерения для отдельных ансамблей, а потом происходит усреднение. Этот способ более предпочтителен.

Усреднение будем обозначать символами «< >». Отметим, что усреднение коммутативно с дифференциальными операторами.

Итак, усредняем:

 

 

Среда под действием внешнего электромагнитного поля поляризуется, т.е. реагирует на внешнее воздействие. В случае, когда отсутствует пространственная дисперсия, поляризация характеризуется векторами электрической и магнитной поляризации . Можно показать, что и выражаются через :

 

Введём обозначения: ;

Перенесём второе слагаемое из правой части в левую и объединим его с :

 

 

Итак, уравнения Максвелла для среды имеют вид: