Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
Поле стационарно, если оно не зависит явно от времени, т.е.
Уравнения Максвелла в этом случаем принимают вид:
+ связи:
В электростатике используются первое и третье уравнения, а в магнитостатике второе и четвертое.
Связь полей с потенциалами:
Объёмная плотность точечного заряда.
Рассмотрим систему из точеченого заряда 
Здесь возникает необходимость использовать 
-функцию.
Тогда:
Это соответствует случаю, когда заряд помещён в начало координат, а плотность заряда ищется в точке, с радиус-вектором 
. 
Если же заряд помещён не в начало отсчёта, то плотность заряда перепишется в следующем виде:
В случае системы точечных зарядов имеем:
Для изображения плотности точечного источника всегда используется -функция.
Волновое уравнение в случае вакуума.
Аналогично уравнение получаем для 
:
Здесь будем использовать калибровку поперечных волн (
), т.к. в вакууме электромагнитные волны плоские поперечные волны. Тогда:
Закон сохранения заряда.
Запишем уравнение Максвелла: 
. Подействуем на него оператором 
скалярно. Получаем:
Но дивергенция всякого ротора равна нулю, поэтому в результате получаем:
- уравнение непрерывности
Проинтегрируем обе части этого уравнения по некоторому объёму:
, где 
-единичный вектор нормали
определяет количество заряда выносимого через поверхность объёма. Если 
- острый, то заряд выносится из объёма и -положителен. Если тупой, то заряд приходит в объём и 
- имеет знак минус.
Типы калибровок.
Перепишем уравнения Максвелла:
1.Калибровка Лоренца
Тогда уравнение первое уравнение Максвелла перепишется в следующем виде:
- уравнение Даламбера
Это уравнение есть – неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных.
- оператор гиперболического типа.
Для 4-го уравнения Максвелла имеем:
Все, имеющие физический смысл, результаты должны быть градиентно-инвариантыми:
В силу калибровки Лоренца получаем:
Т.е. функция 
должна удовлетворять однородному уравнению Даламбера (его ещё называют волновым уравнением)
2.Калибровка Кулона
- калибровка Кулона
Уравнение (А) перепишется в следующем виде:
- уравнение Пуассона.
Если же 
(в пустоте), то уравнение Пуассона принимает вид:
-уравнение Лапласа.
получаем, что функция должна удовлетворять уравнению:
3.Калибровка поперечных волн
Полагаем 
есть функция только координат.
Значит функция должна удовлетворять уравнению:
Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
С помощью этих уравнений можно описывать электромагнитное поле в среде. В среде будем ставить индекс «
»=микро
включает в себя как связанные, так и свободные заряды в веществе. Каждой точке пространства ставится в соответствие функция . Это значит, что мы заменяем реальную среду моделью – сплошной средой, т.е. мы свойства разных точек «размазываем» по пространству. Существуют следующие способы описания сплошной среды на основе реальной среды:
1. Усреднение по некоторому физическому объёму 
и времени 
.
2. Статистическое усреднение. Считаем что у нас есть макроскопически-идентичный ансамбль систем(т.е. все внешние условия одинаковы). Здесь производятся измерения для отдельных ансамблей, а потом происходит усреднение. Этот способ более предпочтителен.
Усреднение будем обозначать символами «< >». Отметим, что усреднение коммутативно с дифференциальными операторами.
Итак, усредняем:
Среда под действием внешнего электромагнитного поля поляризуется, т.е. реагирует на внешнее воздействие. В случае, когда отсутствует пространственная дисперсия, поляризация характеризуется векторами электрической и магнитной поляризации 
. Можно показать, что 
и 
выражаются через :
Введём обозначения: 
; 
Перенесём второе слагаемое из правой части в левую и объединим его с 
:
Итак, уравнения Максвелла для среды имеют вид:
