Задача преобразования координат.
Положение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой системы координат. Координаты точки изменятся, если мы выберем другую систему координат.
Задача преобразования координат состоит в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат, найти ее координаты в другой системе.
Эта задача будет разрешена, если мы установим формулы, связывающие координаты произвольной точки по двум системам, причем в коэффициенты этих формул войдут постоянные величины, определяющие взаимное положение систем.
Пусть даны две декартовы системы координат хОу и XO1Y (рис. 68).
Положение новой системы XO1Y относительно старой системы хОу будет определено, если известны координаты а и b нового начала O1 по старой системе и угол α между осями Ох и О1Х. Обозначим через х и у координаты произвольной точки М относительно старой системы, через X и Y—координаты той же точки относительно новой системы. Наша задача заключается в том, чтобы старые координаты х и у выразить через новые X и Y. В полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить постоянные a, b и α.
Решение этой общей задачи мы получим из рассмотрения двух частных случаев.
1. Меняется начало координат, направления же осей остаются неизменными (α = 0).
2. Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (а = b = 0).
Перенос начала координат.
Пусть даны две системы декартовых координат с разными началами O и O1 и одинаковыми направлениями осей (рис. 69).
Обозначим через а и b координаты нового начала О1 в старой системе и через х, у и X, Y —координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах. Проектируя точку М на оси О1Х и Ох, а также точку О1 на ось Ох, получим на оси Ох три точки О, А и Р. Величины отрезков ОА, АР и ОР связаны следующим соотношением:
| ОА | + | АР | = | ОР |. (1)
Заметив, что | ОА | = а, | ОР | = х, | АР | = | О1Р1 | = Х, перепишем равенство (1) в виде:
а + X = x или x = X + а. (2)
Аналогично, проектируя М и О1 на ось ординат, получим:
y = Y + b (3)
Итак, старая координата равна новой плюс координата нового начала по старой системе.
Из формул (2) и (3) новые координаты можно выразить через старые:
Х = х — а, (2')
Y = y — b. (3')
Поворот осей координат.
Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковым началом О и разными направлениями осей (рис. 70).
Пусть α есть угол между осями Ох и ОХ. Обозначим через х, у и X, Y координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах:
х = | ОР |, у = | РM |,
X = | ОР1 |, Y = | Р1M |.
Рассмотрим ломаную линию ОР1MP и возьмем ее проекцию на ось Ох. Замечая, что проекция ломаной линии равна проекции замыкающего отрезка (гл. I, § 8) имеем:
ОР1MP = | ОР |. (4)
С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. I, § 8); следовательно, равенство (4) запишется так:
пр ОР1 + пр Р1M + пp MP = | ОР | (4')
Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 8), то
пр ОР1 = X cos α
пр Р1M = Y cos (90° + α) = — Y sin α,
пp MP = 0.
Отсюда равенство (4') нам дает:
x = X cos α — Y sin α. (5)
Аналогично, проектируя ту же ломаную на ось Оу, получим выражение для у. В самом деле, имеем:
пр ОР1 + пр Р1M + пp MP = пp ОР = 0.
Заметив, что
пр ОР1 = X cos (α — 90°) = X sin α,
пр Р1M = Y cos α,
пp MP = — y,
будем иметь:
X sin α + Y cos α — y = 0,
или
y = X sin α + Y cos α. (6)
Из формул (5) и (6) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у, если разрешим уравнения (5) и (6) относительно X и Y.
Замечание. Формулы (5) и (6) могут быть получены иначе.
Из рис. 71 имеем:
х = ОР = ОМ cos (α + φ) = ОМ cos α cos φ — ОМ sin α sin φ,
у = РМ = ОМ sin (α + φ) = ОМ sin α cos φ + ОМ cos α sin φ.
Так как (гл. I, § 11) OM cos φ = X, ОМ sin φ = Y, то
x = X cos α — Y sin α, (5)
y = X sin α + Y cos α. (6)
Общий случай.
Пусть даны две декартовы системы координат с разными началами и разными направлениями осей (рис. 72).
Обозначим через а и b координаты нового начала О, по старой системе, через α —угол поворота координатных осей и, наконец, через х, у и X, Y — координаты произвольной точки М соответственно по старой и новой системам.
Чтобы выразить х и у через X и Y, введем вспомогательную систему координат x 1 O 1 y 1, начало которой поместим в новом начале О 1, а направления осей возьмем совпадающими с направлениями старых осей. Пусть x 1 и y 1, обозначают координаты точки М относительно этой вспомогательной системы. Переходя от старой системы координат к вспомогательной, имеем (§ 2):
х = х 1 + а, у = у 1 + b.
Переходя, далее, от вспомогательной системы координат к новой, найдем (§ 3):
х 1 = X cos α — Y sin α, y 1 = X sin α + Y cos α.
Заменяя х 1 и y 1 в предыдущих формулах их выражениями из последних формул, найдем окончательно:
x = X cos α — Y sin α + a
y = X sin α + Y cos α + b (I)
Формулы (I) содержат как частный случай формулы §§ 2 и 3. Так, при α = 0 формулы (I) обращаются в
x = X + а, y = Y + b,
а при а = b = 0 имеем:
x = X cos α — Y sin α, y = X sin α + Y cos α.
Из формул (I) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у, если уравнения (I) разрешим относительно X и Y.
Отметим весьма важное свойство формул (I): они линейны относительно X и Y, т. е. вида:
x = AX + BY + C, y = A 1 X + B 1 Y + C 1.
Легко проверить, что новые координаты X и Y выразятся через старые х и у тоже формулами первой степени относительно х и у.
***
Г.Н.Яковлев "Геометрия"
Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой
Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.
Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатных системах. Одна и та же точка в разных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, окружность, парабола, прямая) в разных системах координат задается различными уравнениями.
Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой.
Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат: О, i, j и О', i', j' (рис. 41).
Первую систему с началом в точке О и базисными векторами i и j условимся называть старой, вторую — с началом в точке О' и базисными векторами i' и j' — новой.
Положение новой системы относительно старой будем считать известным: пусть точка О' в старой системе имеет координаты (a;b), a вектор i' образует с вектором i угол α. Угол α отсчитываем в направлении, противоположном движению часовой стрелки.
Рассмотрим произвольную точку М. Обозначим ее координаты в старой системе через (х;у), в новой — через (х';у'). Наша задача — установить зависимость между старыми и новыми координатами точки М.
Соединим попарно точки О и О', О' и М, О и М. По правилу треугольника получаем
OM > = OO' > + O'M >. (1)
Разложим векторы OM > и OO' > по базисным векторам i и j, а вектор O'M > по базисным векторам i' и j':
OM > = x i + y j, OO' >= a i + b j, O'M > = x' i '+ y' j '
Теперь равенство (1) можно записать так:
x i + y j = (a i + b j) + (x' i '+ y' j '). (2)
Новые базисные векторы i' и j' раскладываются по старым базисным векторам i и j следующим образом:
i' = cos α i + sin α j,
j' = cos (π/ 2 + α) i + sin (π/ 2 + α) j = — sin α i + cos α j.
Подставив найденные выражения для i' и j' в формулу (2), получим векторное равенство
x i + y j = a i + b j + х' (cos α i + sin α j) + у' (— sin α i + cos α j)
равносильное двум числовым равенствам:
| х = а + х' cos α — у' sin α, у = b + х' sin α + у' cos α | (3) |
Формулы (3) дают искомые выражения для старых координат х и у точки через ее новые координаты х' и у'. Для того чтобы найти выражения для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнении (3) относительно неизвестных х' и у'.
Итак, координаты точек при переносе начала координат в точку (а; b) и повороте осей на угол α преобразуются по формулам (3).
Если изменяется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах (3) α = 0, получаем
|
| х = а + х' у = b + у' | (4) |
Эти формулы кратко называют формулами переносa.
Если начало координат остается прежним, а оси поворачиваются на угол α, то, полагая в формулах (3) а = b = 0, получаем
|
| х = х' cos α — у' sin α, у = х' sin α + у' cos α | (5) |
Формулы (5) называют формулами поворота.
Задача 1. Пусть координаты нового начала в старой системе (2; 3), а координаты точки А в старой системе (4; —1). Найти координаты точки А в новой системе, если направления осей остаются прежними.
По формулам (4) имеем
Ответ. A (2; —4)
Задача 2. Пусть координаты точки Р в старой системе (—2; 1), а в новой системе, направления осей которой те же самые, координаты этой точки (5; 3). Найти координаты нового начала в старой системе.
А По формулам (4) получаем
|
| — 2 = а + 5 1 = b + 3 |
откуда а = — 7, b = — 2.
Ответ. (—7; —2).
Задача 3. Координаты точки А в новой системе (4; 2). Найти координаты этой точки в старой системе, если начало координат осталось прежним, а оси координат старой системы повернуты на угол α = 45°.
По формулам (5) находим
Задача 4. Координаты точки A в старой системе (2 √3; — √3). Найти координаты этой точки в новой системе, если начало координат старой системы перенесено в точку (—1;—2), а оси повернуты на угол α = 30°.
По формулам (3) имеем
Решив эту систему уравнений относительно х' и у', найдем: х' = 4, у' = —2.
Ответ. A (4; —2).
Задача 5. Дано уравнение прямой у = 2 х — 6. Найти уравнение той же прямой в новой системе координат, которая получена из старой системы поворотом осей на угол α = 45°.
Формулы поворота в данном случае имеют вид
Заменив в уравнении прямой у = 2 х — 6 старые переменные х и у новыми, получим уравнение
√2/2 (x' + y') = 2•√2/2 (x' — y') — 6,
которое после упрощений принимает вид y' = x' / 3 — 2√2
