Образование энергетических зон в кристаллах

Рассмотрим качественно, как образуются энергетические зоны. Пусть N атомов составляют правильную пространственную решетку и расположены на больших (макроскопических) расстояниях друг от друга. Если однородно сжимать такую решетку, сохраняя геометрическое подобие то в процессе сближения атомов усиливается их взаимодействие, что и обуславливает трансформацию энергетического спектра электронов изолированного атома в электронный спектр кристалла.

Рис. 1. Схема образования энергетических зон кристалла из атомных уровней при сближении атомов.

В каждом атоме имеются различные уровни энергии (соответствуюшие электронным уровням) Е_М, Е_L, Е_K и т.д. (рис.1)

В изолированном атоме электрон пребывает на стационарном уровне Е_a неограниченно долгое время.

Чтобы покинуть атом электрону надо сообщить энергию для преодоления потенциального барьера.

При сближении атомов друг с другом у электронов появляется возможность обмениваться местами вследствие туннельного эффекта.

*)- явление просачивания частицы сквозь потенциальный барьер, туннельный эффект - чисто квантовое явление

.

Таким образом, сокращается время пребывания электрона на данном узле решетки. Время пребывания электрона вблизи данного узла t связано с размытием, или шириной, уровня D Е:

tD Е ~ , (1.3)

где = h/2p

*) h = 6,625.10^-24– постоянная Планка (или квант действия),

(1.3) это соотношение неопределенности (соотношение неопределенности Гейзенберга для энергии Е и времени t)

другими словами - энергия частицы, в каком либо состоянии может быть определена тем точнее, чем дольше частица находиться в этом состоянии.

Следовательно, уменьшение t при образовании кристалла из изолированных атомов приводит к расширению уровня Е_a в зону шириной D Е_a.

Т.е. в результате переходов электронов при сближении атомов одинаковые уровни энергии расщепляются.

В кристалле огромное число атомов: 10²² - 10²³ в кубическом сантиметре.

Каждый атомный уровень расщепляется на N уровней, расстояние между которыми тем меньше, чем больше число атомов.

В пределе N ® ¥ они слипаются образуя зоны разрешенных значения энергий, ширина которых тем больше, чем больше взаимодействие между соседними атомами. На каждый уровень в зоне может поместиться два электрона (квант. Физика), а всего в зону - 2 N электронов.

Важно: для расщепления уровня на N уровней нет необходимости, чтобы все N атомов были близки друг к другу; достаточно, чтобы к любому можно было добраться через соседей. Величина максимального расщепления определяется взаимодействием атомов - соседей

Для валентных электронов ширина разрешенной энергетической зоны составляет несколько электрон-вольт: D Е ~ /t ~ 1 эВ. Отсюда следует, что расстояние между уровнями, как было отмечено выше, бесконечно мало (D Е / N ~ 10^-22 эВ), так что зону можно считать квазинепрерывной.

Для электронов внутренних атомных оболочек потенциальный барьер шире и выше, и вероятность туннельного эффекта намного меньше, чем для валентных электронов. Вследствие этого электроны глубоких уровней практически связаны с определенными узлами решетки. Так К-электрон натрия переходит от одного узла к другому в среднем за t ~ 1 час, а DЕ ~ 10^-19 эВ, т. е. К-уровень в кристалле остается практически резким. Однако и на глубоких уровнях в стационарном состоянии электрон распределен с одинаковой вероятностью по всем узлам кристаллической решетки.

Пример:

Частота переходов электронов n от одного атома к другому пропорциональна вероятности туннелирования через потенциальный барьер DЕп.

Можно показать, что при высоте ПБ DЕп ~ 10 Эв время нахождения электрона в определенном узле решетки всего лишь

t = 1/n ~ 10^-15 секунд.. (1.4)

Иными словами, электроны внешних атомных оболочек не локализуются вблизи определенного узла решетки, а движутся по кристаллу.

При радиусе боровской орбиты b ~ 10^{-8 см скорость движения}

v ~ b/t= 10^-8/10^-15 ~ 10⁷ см/с. (1.5)

Справка: скорость электрона в атоме v ~ 10⁸ см/с,