Понятие функции нескольких переменных. Частные производные

Го и 2-го порядка. Дифференциал функции.

 

3.1. Вычислить:

1) значения F(2,3), F(1,2), F(2,1), F(a,0), F(0,a), если

2) значения F(2,4), F(4,2), F(1,a), если

3.2. Найти области определения функций:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7)

 

3.3. Построить несколько линий уровня функций:

1) z=xy; 2) z=y-x²; 3) z= 4) z=ln(x²+y²); 5) z=

Найти частные производные 1-го порядка функции:

 

3.4. z=x²-2xy-5y³. 3.5. z=2x³+3x²y-y+5.

3.6. z= e . 3.7. z=ln(x²+y²).

3.8. z= . 3.9. z= .

3.10. z= x^y. 3.11. z=x²e^xy.

3.12. z= arctg(). 3.13. z= arcsin .

Найти дифференциал 1-го порядка функции:

 

3.14. z= 3.15. z=ln().

3.16. z= 3.17. z=sin .

3.18. z= arctg . 3.19. z=y arcsin .

3.20. Доказать:

1) если , то

2) если , то .

 

 

3.21. Доказать:

1) если , то ;

2) если , то .

 

Найти дифференциал 1-го порядка функции:

 

3.22. z= в точке (3;4).

3.23. z= e^x+2y в точке (-2;1).

3.24. z= x siny в точке (3; ).

3.25. z= ln(x+y²) в точке (-3;2).

 

3.26. Вычислить dz и z для функции z=ху при х=5, у=4, х=0,1,

у=-0,2.

 

3.27. Вычислить dz и z для функции z=ln(x²+y²), когда х изменяется от 2 до 2,1, а у - от 1 до 0,9.

 

3.28. Подсчитать приближенно приращение функции:

1) z=arctg если х изменяется от 2 до 2,1, а у- от 3 до 2,5;

2) z=arcsin если х изменяется от 5 до 4,5, а у- от 3 до 3,3.

Найти частные производные 2-го порядка:

 

3.29. z= x²-2xy+5y². 3.30. z= .

3.31. z= . 3.32. z= ln(x²-y²).

3.33. Проверить, что для функций:

3.34. Найти частные производные 3-го порядка для функций:

1) z=2x³+xy²-y³+y²-x; 2) z= .

 

3.2. Производная по направлению и градиент функции.

3.35. Найти grad z(x,y) для функции:

1) 2)

3) ; 4)

 

3.36. Построить линии уровня и grad z в точке А(1;2) для функций:

 

1) z=4-x²-y²; 2) z=x²-y;

3) z=2x+y-3; 4) z= .

3.37. Найти , если

1) z=ln(x+y) arctgy, ;

2) z=e +xy, ;

3) z= , ;

4) z=x³+xy²-y³, .

 

3.38. Найти производную функции z=ln(e^x+e^y) в точке (0;0) в направлении и в направлении градиента.

 

3.39. Найти производную функции z(x,y) в точке (1;2) в направлении и в направлении градиента, если:

 

1) z=4-x²-y²; 2) z=x²-y;

3) z= 2x+y-3; 4) z=

(cм. задачу 3.36).

 

3.3. Экстремум функции двух переменных.

 

Найти экстремумы функции:

3.40. z= 3x² +xy+2y²+4x-7y+15.

3.41. z= -x²+2xy-2y² +2x+20.

3.42. z= 5x² +2xy - y²-4x-8y+10.

3.43. z= x³ +8y³ -6xy +1.

3.44. z= 2x³ -xy² +5x²+y².

3.45. z= .

3.46. z= e ().

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

3.47. z= -2xy -2x+y при

3.48. z= x²-2xy +x+y+5 при

3.49. z= x²-xy +y² -x-y+2 при

3.50. z= sin (x+y)+sinx+siny при

 

Найти экстремумы функции:

 

3.51. при х+у=2.

3.52. z=x+y при

3.53. z=xy при условии, что х²+у²=2.

 

Раздел II. Интегральное исчисление.

Дифференциальные уравнения. Ряды.

 

Тема 4. Интегралы.

 

4.1. Понятие неопределенного интеграла.

Вычисление неопределенных интегралов.

 

4.1. Проверить, что:

 

Вычислить интегралы:

Применяя метод замены переменных, вычислить интегралы:

 

 

С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы:

 

При вычислении интеграла воспользоваться тем, что

 

Вычислить интегралы, используя формулы:

 

 

В примерах 4.92 - 4.95 применить подстановку

тогда

 

 

Вычислить интегралы:

 

 

Понятие определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.

 

4.117. Составлением интегральных сумм и переходом к пределу найти интегралы:

 

4. 118. Вычислить интегральную сумму S₅ для интеграла , разбив отрезок [1;2] на пять равных частей и взяв в каждой части ее середину. Сравнить с точным значением интеграла.

4.119. Выполнить задание предыдущей задачи для интеграла

Вычислить:

4.120. 4.121.

4.122. 4.123.

4.124. 4.125.

4.126. 4.127.

4.128. 4.129.

4.130. 4.131.

4.132. 4.133.

4.134. 4.135.

4.136. 4.137.