Обоснование математики: новый взгляд на проблему

В настоящей работе мы хотим сформулировать определенный ответ на вопрос: как возможно обоснование математики? Для этого, прежде всего, необходимо выяснить, что, собственно, следует понимать под словосочетанием "обоснование математики", с постановкой и решением каких задач может ассоциироваться реализация обосновательного замысла. К сожалению, несмотря на обилие литературы по обосновательной проблематике, прямого ответа на поставленные вопросы не обнаруживается. Приходится констатировать, что в концептуальном плане данная проблема, по существу, не осмыслена. Объяснений этому может быть несколько. Приведем лишь наиболее существенные.

Во-первых, располагая вполне приемлемым определением содержания понятия "обоснование", ни логика, ни философия не испытывали и, по-видимому, не испытывают потребности в какой-то спецификации этого понятия, позволяющей уточнить содержание и структуру процедур, традиционно включаемых в его объем. В рамках философской традиции содержание категории "обоснование" ("обоснованное") принято сопрягать с содержанием понятия "основа", трактуемого как то, что необходимо присуще обосновываемым сущностям, без чего нельзя говорить о качестве или природе последних. Философские дискуссии ведутся главным образом вокруг последнего термина ("основа") и имеют явный метафизический оттенок.

В логико-методологической литературе предпочитают рассматривать структуру обосновательного акта, определяя обоснование как подтверждение определенных свойств или отношений, присущих обосновываемому, будь то отдельное утверждение, гипотеза, теория или даже наука в целом. При этом подтверждение трактуется в широком смысле - как приведение весомых доводов (свидетельств, фактов, аргументов), укрепляющих нашу веру в обосновываемое. Укрепление веры, в свою очередь, базируется на обретении новой информации о причинах проявления упомянутых свойств и отношений, их границах, способах существования и т. д.

Как видим, все это имеет весьма косвенное отношение к ситуации, сложившейся в математике в связи со знаменитым кризисом ее оснований, преодоление которого требовало конкретных мер логико-математического характера. Иначе говоря, обоснование математики требовало решения вполне определенного комплекса проблем, а логика и философия никогда не ориентировались на подобные цели. Не случайно у математиков сформировались самые различные точки зрения относительно содержания проблемы обоснования математики. Любой исследователь самостоятельно определял, какие задачи следует включать в структуру упомянутого комплекса, а какие нет.

Во-вторых, само словосочетание "обоснование математики" звучит несколько неестественно, может быть, даже парадоксально. Дело в том, что математика всегда считалась эталоном надежности и достоверности человеческого познания. Какой же смысл могло иметь "оправдание" эталона? Пикантность ситуации заключалась в том, что отмеченные черты математического знания неизменно подтверждались на практике, в процессе применения тех или иных математических методов, демонстрируя их эффективность. Однако философия науки всегда разделяла практическую эффективность и теоретическую обоснованность. В результате получалось, что вне рамок ситуации "кризиса оснований" проблема обоснования математики не получала определенного смысла.

В-третьих, внутри самой математики сложилась традиция разграничения собственно обосновательной деятельности, связываемой, как правило, с доказательством присущности (или неприсущности) математическим объектам тех или иных свойств, и деятельности по построению или конструированию самих этих объектов. В рамках философии науки это влекло за собой противопоставление контекста обоснования контексту открытия. Соответственно понятие обоснования оказывалось понятием, производным от понятия доказательства, что, конечно, не способствовало выработке самостоятельного концептуального осмысления проблемы обоснования математики.

Наконец, в-четвертых, следует отметить укоренившуюся практику собирательного употребления этого словосочетания, когда обоснование математики мыслилось как обоснование какого-либо фрагмента математического знания (теории, например) имеющимися в математике средствами. При этом выдвигались философские гипотезы о природе фигурирующих в данном фрагменте объектов, об их взаимосвязи с другими математическими сущностями и т.д. К собирательной трактовке обоснования можно отнести философские размышления о проблемах, которые возникали в связи с попытками преодолеть "кризис оснований", спровоцированный открытием парадоксов канторовской теории множеств.

В настоящее время исследователи предпочитают не употреблять термин "обоснование математики". Принято говорить об исследовании в области оснований математики, что, естественно, не предполагает какого-либо концептуального осмысления возникающих здесь проблем в качестве единого проблемного комплекса. Подобное положение дел не является случайным. Оно вызвано неудачей классических программ обоснования математики, связанных с именами Цермело, Рассела, Брауэра и Гильберта.

Между тем то, что проблема обоснования математики снята с повестки дня, на наш взгляд, нельзя считать оправданным. Неудачи классических программ были связаны с неадекватной трактовкой самой проблемы обоснования и объективно не были неизбежными. Чтобы убедиться в этом, проанализируем ход обосновательной деятельности, акцентируя внимание на специфике рассматриваемых в ее русле задач и пытаясь понять логику их взаимосвязи.

Будем исходить из того, что предметом обоснования выступает математика как целостная наука. Ясно, что подтвердить науку в прямом смысле слова невозможно. Речь может идти лишь о подтверждении некоторого гносеологического образа науки, в котором отражены ее специфические черты и качественное своеобразие в системе научного знания. При этом сам образ всегда ориентирован на определенный идеал познания.

Применительно к математике отличительными признаками всегда считались строгость, достоверность и непреложность получаемых результатов. Однажды доказанный результат мог быть обобщен, усовершенствован, даже частично пересмотрен, но никогда не отбрасывался как ложный. Собственно обосновательной деятельностью в этом плане считалась любая деятельность, направленная на объяснение причин или оснований упомянутых свойств математического познания. Среди различных объяснений такого рода в качестве главного объяснительного фактора всегда фигурировала ссылка на дедуктивный характер математических истин. К середине XIX в. упомянутый фактор оказался не просто главным, но единственным. Подтверждение сложившихся представлений о математике как чисто дедуктивной системе требовало проведения унификации математических теорий и методов, введения абстракций и идеализации все более высокого уровня. Принято считать, что развитие математики с середины XIX в. протекало под воздействием этой обосновательной идеи и завершилось триумфом кантовской теории множеств. Успехи в реконструкции классической математики на базе теории множеств являются важнейшим итогом обосновательной деятельности, органически вплетенной в общий контекст развития этой науки.

Кризис оснований, вызванный открытием парадоксов теории множеств, заставил математиков усомниться в справедливости традиционного гносеологического образа математической науки, породил тревогу и обеспокоенность по поводу надежности применяемых средств и методов. Оказалось, к примеру, что рассуждения, приводящие к парадоксу Рассела, используются в различных областях математики, не вызывая там особых хлопот. И хотя обнаруженные антиномии довольно быстро удалось блокировать, сомнения, связанные с перспективой появления новых парадоксов, не были развеяны. К тому же теоретико-множественные антиномии были удивительно близки к другим, не имеющим прямого отношения к математике давно известным логическим парадоксам, решения которых не существовало. Все это лишало математику ореола исключительности и эталонности в науке.

Парадоксальность сложившейся ситуации заключалась в том, что отказ от устоявшихся представлений противоречил здравому смыслу. Как заметил Хао Ван, открытие антиномий не привело к крушению мостов, - все математические методы продолжали демонстрировать свою эффективность. Однако и сомнения, посеянные парадоксами, не были пустым звуком. Они требовали какой-то реакции со стороны математического сообщества, и такая реакция последовала. Было выдвинуто четыре различных программы, нацеленных на то, чтобы устранить все сомнения, продемонстрировав наличие крепкого и надежного фундамента математики. Таково содержание проблемы, заключенное в словосочетании "обоснование математики".

В рамках каждой из программ сложилось свое понимание кризисной ситуации и собственное представление о путях выхода из кризиса. Тем не менее существует по крайней мере два общих для всех этих программ момента. Первый заключается в том, что была признана невозможность ликвидировать сомнения самым радикальным путем - отождествив парадокс с логической ошибкой. Все попытки указать конкретные законы логики, которые в явном виде отрицаются в ходе парадоксальных рассуждений, оказались тщетными. Понимание того, что парадокс не является логической ошибкой или "трюком мышления", вынудило исследователей признать существование как бы двух математик. Наряду с надежной и достоверной областью математических истин, где все результаты опираются на аподиктическую интуицию целого числа и прямые доказательства существования, было констатировано существование области гипотетических, сомнительных результатов. Основоположники классических программ спорили относительно природы и границ достоверного, но само наличие сомнительного и достоверного не было предметом полемики. В этом состоял второй общий момент рассматриваемых программ.

Подобные представления оказались весьма плодотворными. Они позволили выдвинуть "экспериментальную" задачу редукции сомнительного к достоверному, успешное решение которой могло бы реабилитировать гносеологический образ науки, не предусматривающей наличие парадоксов в своем фундаменте. Но, к сожалению, приходится констатировать, что иллюзии, связанные с редукционистским замыслом, оказались настолько сильны, что их крушение было воспринято как невозможность решения проблемы обоснования математики и привело к тому, что эта проблема оказалась снятой с повестки дня.

Между тем нелепость самой идеи редукции сомнительного к достоверному достаточно очевидна. Редукционистский замысел протаскивал через ''черный ход" представление о парадоксах и связанных с ними сомнениях как о чем-то искусственном, как о каких-то издержках мышления, т.е. ту точку зрения, которая была "официально" признана несостоятельной. В итоге оказалось, что "конструктивное" истолкование второго принципиального для классических программ момента вступало в противоречие с первым пунктом их совместной позиции. Это свидетельствовало о том, что исследователи в глубине души не воспринимали возможность альтернативных воззрений на характер математической деятельности как объективную данность.

Чтобы сделать дальнейшее обсуждение более предметным, необходимо коснуться содержательных моментов каждой из четырех упомянутых программ.

Теоретико-множественное направление в обосновании математики, пожалуй, трудно упрекнуть в прямом редукционизме, ибо задача данного направления состояла в реабилитации сомнительной теоретико-множественной математики за счет ее аксиоматизации. Однако аксиоматизированный "заслон" на пути парадоксов лишь выталкивал все наиболее острые проблемы за рамки теории множеств в надежде на их решение на доаксиоматическом или даже доматематическом уровне. Практически же ни одна из таких проблем начиная с трактовки пустого множества, определенного предиката, множества-степени, не говоря уже о сколемовском релятивизме мощностей или аксиоме выбора, не получила никакого общепризнанного решения. Различные варианты аксиоматик допускали взаимоисключающие решения многих проблем. Например, аксиома существования множества-степени, по авторитетному замечанию Н.В. Белякина, "навязывает неразрешимые проблемы сравнения бесконечных количеств и одновременно препятствует разумному осмыслению ситуации, порождая впечатление о какой-то независимой от нас и непостижимой реальности. Мы кодируем непрерывную протяженность как множество всех подмножеств натурального ряда, а затем обнаруживаем, что мощность этого множества мы можем назначить по своему произволу, не опасаясь противоречия".

Направление, называемое логицизмом, привязывало редукцию сомнительной теоретико-множественной математики к своеобразной теоретико-типовой логике, пригодной, по мнению Рассела, для экспликации без противоречий основных математических конструкций. Даже если не опасаться болезненного для логицизма вопроса, в какой мере логизированную форму теоретико-множественной математики, включающую в себя аксиому бесконечности, можно назвать логикой, странной кажется сама оценка логики как более достоверной, чем математика, области знаний. Для этого логике, по меньшей мере, надо было устранить собственно логические парадоксы, связанные с ее основаниями. Прежде всего - парадокс "лжеца", затрагивающий основания логики высказываний, и гетерологический парадокс, связанный с основаниями логики предикатов. Без решения этой проблемы считать логику мерилом достоверности можно лишь следуя инерции докризисного этапа развития основательной деятельности.

Упорное стремление логицистов именовать логическими краеугольные принципы математики, не имеющие к логике никакого отношения, рождало негативное отношение к науке, способной облачаться в любые одежды. "Податливость" логики сделала ее главной мишенью интуиционистской критики. Интуиционисты прямо объявили логику виновницей кризиса, преодоление которого мыслилось через отказ от ряда положений классической логики и реконструкцию математики на основе интуиции конструктивного процесса. Однако попытки построить интуитивно ясную математику, в которой не было бы места сомнениям, закончились вполне предсказуемым результатом - признанием того, что "само понятие интуитивной ясности не является интуитивно ясным".

Включившийся в полемику Гильберт не примкнул ни к одной из сторон. Он хорошо сознавал, что придание математике образа логизированной дедуктивной науки требует использования рискованных абстракций и идеализации в основаниях дедукции, а это создает почву для коллизий и парадоксов. Однако отказываться от всего этого было бы, по мнению Гильберта, просто предательством по отношению к математике. Гильберт открыто боролся с интуиционистами, пытавшимися, по его словам, "спасти математику, выбрасывая за борт все, что причиняет беспокойство". Он выдвинул программу, призванную продемонстрировать "безвредность" идеализации, полагая, что все, что получается в теории, использующей сильные идеализации, может быть получено в более слабой теории, не использующей этих идеализаций. Таким образом, первая оказывается лишь консервативным расширением второй. Опираясь на эти идеи, Гильберт предположил, что и анализ, и теория множеств являются консервативным расширением обыкновенной арифметики. Поэтому если будет доказана непротиворечивость арифметики, то можно считать, что вся реальная математика надежно защищена от парадоксов. Образно говоря, если даже математика и лишилась "невинности" в связи с обнаружением парадоксов, она от этого ничего не потеряла.

Бесспорно, замысел Гильберта был тщательно продуман. Требуя проведения доказательств непротиворечивости теорий, он разработал соответствующий механизм реализации этого требования - метаматематику. В то же время, требуя определенного качества самих доказательств непротиворечивости, Гильберт смог нейтрализовать нападки интуиционистов. Тем не менее доказательства непротиворечивости не могли рассеять связанных с парадоксами сомнений. План Гильберта в этом смысле мог претендовать лишь на дискредитацию интуиционизма, но не на решение проблемы обоснования математики. Разумеется, требование непротиворечивости теорий более чем желательно. Однако сама по себе представимость некоторого теоретического фрагмента в виде непротиворечивой системы не исключает парадоксов. Гильберт признавал, что любые основания, оперирующие упрощающими идеализациями действительного положения дел и преступающие границы наглядно очевидного или данных опыта, потенциально опасны. "Противоречие может наступить как раз в результате того, что мы считаем вполне определенным какое-нибудь отношение, которое имеет место только в ограниченном смысле". Иначе говоря, в исходные положения теории могут вкрасться чересчур категоричные (сильные) утверждения, выполнимые в некоторой индивидной области, но допускающие возможность контрпримера вне ее. После этого достаточно лишь слегка "завуалировать" обнаруженный ход мыслей, чтобы парадокс стал реальностью.

Наряду с этим противоречие может быть отражением несовместимости между собой различных идеализации, каждая из которых в отдельности могла бы быть выполнимой. План Гильберта изначально был ориентирован именно в такой плоскости. Непротиворечивость трактовалась как проявление согласованности системы "основных положений" (аксиом) теории относительно фиксированного набора правил вывода. Для этого достаточно было показать, что в результате применения данных правил нельзя получить двух взаимоотрицающих следствий. В этом случае содержательный поиск контрпримера блокировался требованием чисто формального рассмотрения всех элементов теоретической системы. Последнее, в свою очередь, ставило проблему полноты формализма, которая, как известно, была решена Геделем отрицательно.

В действительности требование чисто формального рассмотрения является просто научной метафорой. На самом деле проблема заключается в том, что сама возможность разграничения знакового и объектного содержания языковых символических конструкций требует материальных средств фиксации результата данной акции. Для этого приходится вводить новые соглашения, регламентирующие единообразие восприятия используемых средств. В конечном счете подобная деятельность неизбежно оказывается предметом логического внимания, поскольку мы упираемся в проблему ограниченности как материальных, так и мыслительных ресурсов контроля. Абсолютизируя логическую интуицию, мы с удивлением обнаруживаем, что порождаем проблему контроля за сохранением самой способности к абсолютизации, требующей откровенного изобретательства.

Критические замечания в адрес гильбертовской программы, внушавшей поначалу здоровый оптимизм, не замедлили появиться. Витгенштейн прямо заявил, что доказательства непротиворечивости являются бессмысленными, поскольку не дают никакой гарантии против противоречий, возникновение которых связано с применением теоретических средств, а вовсе не со структурой или строением теории. В силу того, что избежать нежелательного употребления теоретических средств, по мнению Витгенштейна, в принципе невозможно, любые основания математики будут ненадежными.

На наш взгляд, неудачи классических программ обоснования математики не заключают в себе ничего катастрофичного. Как уже говорилось, эти программы были неадекватными по своему замыслу. Проиллюстрировать содержание сказанного можно с помощью метода блок-схем, изображающих структуру представлений о специфике математики и направлениях деятельности по ее обоснованию. Традиционный образ математики (От) как идеала строгости и достоверности познания базировался на двух факторах: интуиции целого числа (ИЦЧ) и дедуктивном способе получения математических истин.

В целом же можно констатировать, что попытки реализации каждой из программ укрепили подозрения, что никаких не подверженных аргументам скептицизма оснований математики существовать не может. Ни аподиктическая интуиция натурального числа, ни строгость логического механизма трансляции недостаточны, чтобы рассматривать традиционный образ математики как нечто большее, чем одна из возможностей. В то же время был достигнут реальный прогресс в осмыслении ритуала математического поведения, существенно повысился уровень требований к строгости доказательств, уточнены соотношения и границы достоверности различных методов и т.д. Вместе с тем нельзя не отметить, что уровень строгости и непреложности, который казался идеальным с точки зрения, скажем, физики, вовсе не выглядел таковым с точки зрения логики или самой математики. Не случайно стандарты убедительности были предметом острой дискуссии среди математиков и упирались, как заметил Н.В. Белякин, в "доброкачественность наших представлений о произвольном конечном".

Вся история с парадоксами, по сути дела, лишь освободила русло для подспудно копившихся сомнений, касавшихся основ математической достоверности. Но, находясь под гипнозом ореола исключительности, которым была овеяна математика в глазах представителей прочих наук, математики бросились искать хотя бы "островок" этой исключительности, не подверженный никаким сомнениям, не осознавая, что подобные усилия оборачиваются прямо противоположным эффектом.

В действительности кризис оснований состоял в том, что все, что считалось достоверным, объективно могло стать предметом сомнений. Однако сомнения в достоверном не отменяют существования достоверного. Поэтому бороться с ними, пытаясь как-то их устранить, отбросить, редуцировать и т.п., бессмысленно. Вопрос должен ставиться в иной плоскости - как в этих условиях возможно само существование достоверного. Такая постановка проблемы требует теоретического оправдания самой возможности математики как системы достоверного знания, основанного на исходной аподиктической интуиции целого числа. Между тем в постгегелевской философии математики мы не найдем даже намека на рассмотрение подобных вопросов. Неустранимость сомнений по-прежнему трактуется как аргумент против выдвижения самостоятельных обосновательных программ. При этом мотив невозможности, как правило, дополняется тезисом о ненужности каких-то программ, поскольку "спасать" математику от никому не известных парадоксов противоестественно. Противники антифундаменталистских установок стараются усовершенствовать обосновательный потенциал классических программ, предпочитая не заниматься при этом вопросами гносеологической адекватности лежащих в их основе замыслов.

Оценка современного состояния проблемы обоснования математики резюмирована в недавней монографии Е. Беляева и В. Перминова: "Общей концепции, которая бы позволила ответить на все философские вопросы, возникающие в связи с проблемой обоснования математики в XX веке, пока не существует". Вместе с тем авторы выделяют ряд положений, которые, по их мнению, представляются бесспорными. Перечислим их:

"1. Ценность математических теорий состоит в их способности выполнять трансформирующую функцию по отношению к содержательному знанию, функцию вывода. Вследствие этого основное, субстанциональное требование к математике и цель ее обоснования есть ее непротиворечивость. Обоснование математики как особая деятельность состоит в устранении существующих противоречий и в выработке средств анализа, предупреждающих, по возможности, появление таких противоречий в будущем.

Единая программа обоснования математики типа гильбертовской или
расселовской в настоящее время уже невозможна.

Невозможна единая теоретическая база обоснования математики, т.е.
невозможно обосновать математику редукцией всех ее положений к какому-
то одному ее разделу. Ни логика, ни арифметика не могут выступать в
качестве такой последней основы. В фактическом становлении математики
все обосновывает все.

Обоснование математики не временный и не эпизодический, но
постоянный процесс, необходимая сторона развития математического знания
в целом. Математика столь же далека от своей окончательной
обоснованности, как и всякое другое знание...".

В приведенных тезисах заключено весьма серьезное противоречие. С одной стороны, недвусмысленно провозглашается, что цель обоснования математики - установление ее непротиворечивости (причем смысл самого понятия "непротиворечивость" трактуется, как минимум, двояко). С другой стороны, столь же категорично утверждается отсутствие единого несомненного теоретического базиса, без чего установление непротиворечивости теряет обосновательную силу и гносеологическую ценность, следствием чего становится странный тезис о том, что в математике "все обосновывает все". На фоне дезавуации изначального смысла, вкладываемого в понятие "обоснование" ("установление непротиворечивости"), последнее утверждение, по существу, фиксирует полный отказ от теоретического осмысления проблемы обоснования.

Такая непоследовательность авторов имеет, на наш взгляд, простое объяснение. Они добросовестно попытались примирить две альтернативные философские позиции: фундаментализм, ориентирующийся на структурные ценности, и антифундаментализм, отстаивающий приоритетность развития перед структурным обоснованием. Провозгласив целью обоснования математики установление ее непротиворечивости, т.е. структурную ценность, они затем почти полностью воспроизвели релятивистскую аргументацию антифундаментализма, для которого сама проблема обоснования математики не имеет самостоятельного значения.

Чтобы как-то сгладить эффект подмены тезиса, авторы уже в третьем предложении первого пункта предлагают рассматривать свойство непротиворечивости как деятельность по устранению существующих противоречий. Очевидно, что в этом случае все дело сводится к способностям и искусству субъекта. А это, в свою очередь, означает, что математика, являясь специфическим полем деятельности, тем не менее не выходит за рамки общих схем и механизмов познавательной деятельности, обладая всеми свойствами последней.

При таком подходе естественным образом отпадает необходимость строить мифы и легенды о каком-то онтологическом статусе объектов математики, об особой способности математиков к непосредственному усмотрению математической истины. Отличительные черты математического знания, о которых не раз говорилось выше, являются лишь наиболее яркими, рельефными чертами, характеризующими один из моментов познавательной деятельности человека, протекающей в определенных условиях. Эти условия действительно специфичны и выделяют математику из других наук. Но они не гарантируют общий успех и в этом смысле не являются решающими факторами достижения успеха, который наряду с тупиками, коллизиями, парадоксами - не более, чем возможный результат математического познания.

Обоснование математики в этих условиях не может быть ничем иным, как теоретическим объяснением успеха, т.е. теорией, объясняющей, почему при наличии самого широкого спектра возможностей применения теоретических средств, при общей неопределенности ситуации применимости, при неустранимой "болезни" ошибок мы способны строить логически последовательные рассуждения, получая достоверные результаты, что должна быть теория, демонстрирующая возможность субъекта находить выход из "безвыходных" ситуаций, убеждающая в возможности достоверного и не отрицающая сомнительное, не стремящаяся вытеснить его за пределы математики. Очевидно, что подобная теория должна быть развернута в форме методологии и призвана служить методом, позволяющим трансформировать сомнительное в достоверное, не постулируя при этом саму достоверность в своем основании.

То, что мы именуем "сомнительным", вовсе не локализуется в области трансфинитных абстракций и связанных с ними теорий. Любое сомнительное тысячами нитей связано с достоверным, неотделимо от него. При таком подходе сомнительное выходит за рамки оснований математики, за рамки математики в целом. Исходным пунктом обосновательной деятельности становится то, что послужило причиной кризиса оснований математики, - проблема парадоксов. Обоснование математики в этом случае есть непосредственное разрешение парадоксов. Разрешение подразумевает выявление рационального зерна в самой структуре парадоксальной ситуации, могущего при правильном, бережном отношении дать полноценный "урожай" достоверных образов. Очевидно, что открытие возможности рациональной трактовки парадоксальной ситуации неотделимо от переоценки логического инструментария, применение которого не позволяло прежде развить непротиворечивую трактовку фигурировавшей в парадоксе смысловой неопределенности. В этом плане разрешение парадокса предполагает изменение самой логики.

Однако не всякое изменение логики пригодно для обоснования математики. Интерес представляет лишь такая модификация традиционных форм выражения логической определенности ("шкалы" истинностного оценивания), которая в перспективе могла бы привести к возникновению форм количественного оценивания информации, т.е. к появлению системы количественных образов, олицетворением которых выступает натуральный ряд чисел N. Такая установка предполагает жесткие требования к самим парадоксам, заставляя рассматривать только те из них, которые относятся к самой логике.

Демонстрация осуществимости построения N как логически детерминированных сущностей является главным критерием успеха предлагаемой концепции обоснования математики. Обоснование призвано показать, что натуральные числа не заложены в "природе вещей", что интуитивная способность оперировать количественными образами реальности не ниспослана Господом Богом. Можно сколь угодно убедительно говорить, что мы владеем этой интуицией, умеем развивать ее непротиворечивым образом, выстраивая спектр различных математических теорий. Все это - попытка подменить теоретическую проблему констатацией фактов, достижимость успеха выдать за ее основу. В действительности же наша способность неограниченного развертывания интуиции количественной определенности в образе N является главной загадкой, квинтэссенцией математики как науки о бесконечном. Поэтому обоснование математики неотделимо от разрешения данной загадки. Разгадать ее - значит построить модель регулярного процесса, который не может зациклиться и все время приводит к возникновению нового и нового. Сам этот процесс является лишь определенной конкретизацией, специфическим проявлением общего стремления мышления к непротиворечивости и определенности, реализуемого с той или иной степенью полноты в любой области научного знания. Разрешение парадоксов позволяет вскрыть факторы, детерминирующие процесс "раскручивания" этой тенденции. Принципиальная незавершенность TV оказывается отражением ее неисчерпаемости.

Таким образом, наш подход к обоснованию математики не требует ничего большего, кроме как раскрытия "обратной связи" сомнительного с достоверным. Графически он может быть проиллюстрирован схемой.

Следует отметить, что реконструкция систем достоверного знания на основе разрешения парадоксов допускает различные варианты (один из них
реализован нами в монографии. В связи с этим возникают философские вопросы, связанные с перспективой множественности математик, заставляющие по-новому взглянуть на фундаментальные проблемы физической реальности.

В целом предложенный подход удовлетворяет всем требованиям, которые он позволяет придать обосновательным программам (интуиции натурального числа) новые черты (детерминированность), открывая тем самым новые горизонты логико-математического познания. Во-вторых, удается выйти из порочного методологического круга, когда обоснование "вращается" в сфере достоверного, выливаясь в подтверждение одних форм достоверности другими. В-третьих, обоснование не на словах, а на деле становится актом укрепления веры, поскольку четко обозначен источник, из которого "черпается" наша уверенность, - открытие рационального момента парадоксальной ситуации. Haконец, в-четвертых, здесь обрисован ясный план выхода из "кризиса оснований": парадоксы породили кризис оснований, разрешение парадоксов приводит к воспроизведению основы.