m ´ n. =( ij), .
(ij) - ; i- ; j- .
=( ij), =(bij), m ´ n , ij= bij, .
=( ij), =(bij) m ´ n =( ij + bij), .
: + = + , ( + ) + = + ( + ).
, , , 0. + 0 =.
m =m=(m ij), .
=( ij) m ´ p =(bij) p ´ n ( ) =(a i1 b 1j+ a i2 b 2j +...+ a ip b pj), .
: ¹.
: , , .
cij i- j- .
:
()=(), ( + ) = + .
, .
n- .
().
() II , II , , :
: D= a 11 a 22 - a 21 a 12.
III , III , , :
, .
ij ij , i- j- .
ij ij (ij)=(-1)i+j ij
() n- : . .
|
|
:
1. , : - .
2. ( )
3. .
4. .
5. , , .
. , 3-5 , .. . ( , ).
. , , - :
, detE=1. , ==.
= , detC=detA.detB. .
-1 , :
-1=-1=
, , , , .. detA=D¹0
.
1. : ,
(ij), - a ij
D=detA= .
2. :
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) .
) .
, , , , .
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, .. , :
, . , - , - ; () | | | |.
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+ , , .
:
|
|
+ = + ( + )+ = +( + )
- + =
l l ` , |` | = |l| | |; ` l>0 - l<0.
:
(lm) =l(m ) l( + )=l +l
, ,,
- .
, $ , -
-, .
-, -.
-.
- ( )
, , - , .
.
` : = { }.
.
= { }, ={ }, Þ ={a1 b1, a2 b2,, an bn};
l .
, , .
n n .
n - = (a1, a2,...,an), aiÎ R, , n- R n
, R 2 - , R 3 - .
R n ` .
R n n , n Rn.
() `i,`j,`k, .. , ( , 1) . : , , .
, .. , ` `i `j .
- . : =xM`i +yM `j +zM`k, .. (,yM,zM).
- . ` a , ` a=a x`i+ a y`j + a z`k, . (,yA,zA)- , B(xB,yB,zB)- , =={xB-xA, yB-yA, zB-zA}, .
, .
,
:
1.
2.
3.
, , .
:
.
φ .
|
|
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^ , ^ ; ; ,
= ´ =[ , ]
:
1.
2.
3.
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: S□= ;
(-) , (, , )=([ , ], )
(, , ) , , , . (+), , , - , (-) - , , - .
, , .
:
.
m () n :
xj, j= -; ij, - ; bi, - . bi=0, , .
, .
, , -
, .. .
, , - .
, .
- Amn m n , , (\) - :
.
.
( rgA) - .
-. , rang(A)=rang(A\B).
, , .
.
, . , .
.
: D - , Dj D j- .
.
.
, .
xn, xn-1,
.
(A\B)~ ,
rg(A\B) .
:
|
|
1. (0 0...0| bk ¢¢), bk ¢¢¹0,
0= b k¢¢ - (rgA¹ rg(A\B)).
2. r , . arr ¢¢xr +...+ arn ¢¢xn= br ¢¢, xr n-r : xr+1,...., xn. , , x1,..., xr-1 .
3. r=n - . ann ¢¢xn = bn ¢¢, n, - x1, x2,..., xn-1.
.
.
, . , .
F(x,y) = 0 , (x,y) , .
xy .
1. .
2. , .
3. , ( ).
4. , ( ).
5. , a b , .
6. k, k .
7. , , , .
, .
L , , L. L: L; L; L.
L .
L1 L2 , : .
, :
.
F(x,y,z)=0 , (x,y,z) , .
xyz .
1. .
2. , .
3. , a, b c , .
4. , , , , .
.
P , , P. P: P; P; P.
P .
, :
|
|
. F1(x,y,z)=0 F2(x,y,z)=0, .
:
1. .
2. , ( ).
3. , ( ).
, :
II :
Ax2+Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, A2+B2+C2 ¹ 0, (A,B,C,D,E,F)Î R
( , ), , , . , .
, F1 F2, , 2 a. | F1F2| =2c, 2c<2 a
:
. , - .
, , . a b , 1(- a,0), 2(a,0), B1(0,- b), B2(0, b) - .
c/ a =e<1, () , , . e=0 .
, x= a, y= b, .
, F1 F2, , 2 a. |F1F2|=2c, 2c>2 a.
:
. . a b , 1(- a,0), 2(a,0) - .
c/ a =e>1, () , .
¥ , .
, x= a, y= b, , .
, . F, , , (. FÏ ).
. F p ( ).
|
|
OX , x³0, OY. (0,0) .
, j, : , (a,b) :
, j, , , , .
, . X, Y, A, B; - x, y, a, b; xÎX - , , Ï - ; Ì - , .. .
, Ì Ì.
È , , ; Ç , , ; \ , . Ì, `=\
(, ) Æ.
, Y ( X Y), xÎX yÎY.
X Y -, xÎX yÎY , yÎY xÎX ( Y).
X Y (X~Y), - .
, , .
. a, b - , , .
`a a, .. a;
aÞb - a b (Þ - );
aÛb - a b (Û - );
aÙb - a b (Ù - );
aÚb - a b (Ú - );
"xÎA - xÎA (" - );
$ yÎB - yÎB ($ - );
" xÎA: a - a;
$! xÎ - Ք.
d - Ud(a) Î R ( -d, +d) (d>0), dÎR. d - Ud(a) Ud(a)\{ a }
Î , $(d>0: Ud(a)Ì. , .
y=f(x), Y, , xÎ yÎY: y=f(x), xÎ, yÎY ÛX Y: " xÎ$! yÎY
y=f(x) [ a,b ], : x1<x2, x1,x2Î[ a,b ] Þ f(x1)<f(x2), [ a,b ], x1<x2, x1,x2Î[ a,b ] Þ f(x1)>f(x2). [ a,b ], .
x=f-1(y) y=f(x), - X=D(f) Y=E(f) (), x=f-1(y) , Y=D(f-1), X=E(f-1)
y=j[y(x)] ( ) , : y=j(z), yÎY, zÎZ, z=y(x), xÎX, zÎZ Þy=(jy)x.
, N , .. xn=f(n).
a xn n (a = ), e>0 N, e , n³N(e) |xn- a |<e
:
b y=f(x) a, e>0 d, e, 0<|x - a |<d |f(x) - b |< e.
:
¥.
.
.
, f(x)= b + a(x),
, x a,
, x a
.
, x a, ( ).
j(x)£f(x)£y(x) . ,
. . , .
( ).
I II .
I :
II : .
2,71828... lnx .
y=f(x) . x0 : y0=f(x0). x Dx . x0, .. x=x+Dx- , Dy. y0+Dy=f(x0+Dx), .x0 Dy= f(x0+Dx)-f(x0)
y=f(x) .x0, : . 0 ; .
y=f(x) , .
0 y=f(x), . 0
, 0, 0, , 0, >0,
:
1) 0- .. Û$f(x0-0)=f(x0+0) , f(x0) $.
2) 0 - .. 1 f(x0+0), f(x0-0) - , f(x0+0)¹f(x0-0).
3) 0 - .. 2 : ..
f(x) [ a,b ], [ a,b ] m (m£f(x)£M), .. [ a,b ] [ a,b ].
) [ a,b ] [ a,b ] , $cÎ[ a,b ], f(c)=0
f(x)Î) [ a,b ], f(a)¹f(b), m f(a) f(b) . xÎ (a,b), f(x)=m. , [ a,b ] .