Расчёт на прочность цилиндрических передач стандартизован ГОСТ 21354-75. В курсе ДМ изучают основы такого расчёта. При этом вводят некоторые упрощения, мало влияющие на результаты расчётов для большинства случаев практики.
Контактные напряжения возникают в месте соприкосновения двух деталей, когда размеры площадки касания малы по сравнению с размерами деталей (сжатие шаров, цилиндров и т.п.).
Рассмотрим два цилиндра, которые сжимаются удельной нагрузкой q. До приложения нагрузки цилиндры соприкасались по линии. Под нагрузкой q линейный контакт переходит в контакт по узкой площадке. При этом точки максимальных контактных напряжений sН располагаются на продольной оси симметрии контактной площадки. Величину sН вычисляют по формуле Герца:
где: sН – контактные напряжения; основоположником теории контактных напряжений является H. Yerz (1881 г.). В его честь приписывают нормальным напряжениям индекс «Н», q – удельная расчётная нагрузка; Епр - приведенный модуль упругости; m - коэффициент Пуассона; rпр –приведенный радиус кривизны.
Удельная расчётная нагрузка q определяется для зубчатой передачи следующей формулой: 
Здесь нормальная сила равна 
Суммарная длина контактных линий 
Тогда 
Рис. 5.10. Контактные напряжения зубчатых колес
Обозначим 
.
wt – удельная расчётная окружная сила.
Тогда расчётная нагрузка q равна 
где: ea - торцовый коэффициент перекрытия; Кe - коэффициент, учитывающий периодическое изменение длины контактных линий.
Рис. 5.10. Удельная расчётная нагрузка зубчатых колес
Для распространенных на практике зацеплений величина Кe = 0,9…1,0.
Приведенный модуль упругости Епр: 
где: Е1, Е2 – модули упругости материалов обоих колёс.
Приведенный радиус кривизны rпр: 
где: R1, R2 - радиусы кривизны соприкасающихся тел в точках контакта. Знак «+» принимают, когда соприкасающиеся поверхности выпуклые, знак «-«принимают, когда поверхность одного соприкасающегося тела вогнутая.
Исследованиями установлено, что наименьшей контактной выносливостью обладает околополюсная зона рабочей поверхности зубьев. Поэтому расчёт sН принято выполнять в полюсе зацепления (П), где имеет место однопарное зацепление, см. рис. 6.
Контакт зубьев в полюсе П можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусами r1 и r2. При этом для колёс контактные напряжения sН определяются по формуле Герца 
в которой удельная расчётная нагрузка q, как известно: 
Приведенный радиус кривизны определяем для общего случая цилиндрического косозубого зацепления: 
по рис. 6 для прямозубого зацепления 
Для косозубого колеса параметры косого зуба определяются через параметры эквивалентного колеса: 
Тогда в общем случае косозубой цилиндрической передачи:
; 
;
;
где: «+» - для наружного зацепления; «-» - для внутреннего зацепления.
Тогда имеем 
.
Известно
.
Тогда
.
Обозначим 
- - коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев;
В передачах без смещения при a = 20 ° ZH= 1,77cosb; для прямозубой передачи b = 0, ZH= 1,77;
- коэффициент, учитывающий механические свойства материалов сопряженных зубчатых колёс;
для стальных колёс: ZM = 275 МПа1/2;
- коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий;
Для прямозубых колёс Ze = 1.
При этих обозначениях получаем: 
, МПа
Значения расчётных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчёт выполняют для того из колёс пары, у которого меньше допускаемое напряжение [sН] (чаще это бывает колесо, a не шестерня).
Формулу (1) используют для проверочного расчёта, когда все необходимые размеры и параметры передачи известны. При проектном расчёте необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам передачи: крутящему моменту Т, передаточному числу u или мощности и частоте вращения n1 и передаточному числу u.
С этой целью формулу (1) решают относительно делительного диаметра d1 или межосевого расстояния а. При этом в формуле (1) оставляют только те из неизвестных параметров, которые можно определить или выбрать по рекомендациям практики.
Решая формулу (1) относительно а заменяем 
,
и вводим коэффициент yba, полагая 
.
Удельная расчётная окружная сила wHt равна: 
.
Выразим окружную силу Ft через мощность N1 и частоту вращения n1::
.
Тогда 
.
После преобразования получим: 
.
Обозначим 
,
Тогда межосевое расстояние а равно 
, мм
В формуле (2) N1 - мощность на валу шестерни, кВт; n1 - частота вращения шестерни, об/мин (мин-1); [sН] - допускаемое контактное напряжение, МПа.
Коэффициент Кa определяют через ZH, ZM, Ze.
Для прямозубых колёс при ZH = 1,77, ZM = 275, Ze = 1
Кa» 50 МПа1/3;
для косозубых колёс Кa» 43 МПа1/3.
Коэффициент динамической нагрузки КHV при расчёте по фломуле (2) предварительно принимают КHV = 1,1.
Величину коэффициента КHb оценивают по специальным графикам в соответствии с заданной схемой передачи.
Коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния yba выбирают по таблицам.
Для многоступенчатых редукторов, у которых нагрузка увеличивается от ступени к ступени, в каждой последующей ступени yba берут несколько больше, чем в предыдущей. Это способствует хорошему соотношению размеров колёс по ступеням.
Анализ формул (1) и (2) показывает, что контактные напряжения sН зависят от d1 или а, то есть произведения mz1 или произведения m(z1+z2), но не зависят от модуля m или количества зубьев шестерни z1 и колеса z2 в отдельности.
Если sН>[sН], то можно увеличивать в рекомендованных пределах ширину колеса b, увеличить делительный диаметр d1 или межосевое расстояние а; можно также изменить материал колёс (взять сталь с большей твёрдостью).
В инженерных расчётах допускается превышение расчётных контактных напряжений sН над допускаемыми напряжениями [sН] на 5% [sН].
Полученное в формуле (2) межосевое расстояние а для нестандартных редукторов округляют по ряду Ra40.
Для стандартных редукторов общего применения, изготавливаемых специализированными заводами, большое значение имеет ограничение числа типоразмера корпусных деталей, когда в одном корпусе можно собрать несколько редукторов. С этой целью установлены стандартные межосевые расстояния а и стандартные значения коэффициента yba.
