ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Задание 1
Найти и изобразить на рисунке область определения функции z = f(x,y).
Решение
Данная функция определена, если 
или 
. Таким образом, область определения функции находится внутри параболы.
Задание 2
Найти точки разрыва функции z = f(x,y). 
Решение
Точки разрыва функции будут наблюдаться там, где sin(πx) = 0 и sin(πу) = 0. Решая эти два уравнения, находим: х = у = 1, 2, 3,... Т.е. х є Z и у є Z.
Ответ: х є Z; у є Z.
Задание 3
Для функции z = f(x,y) найти указанные частные производные
, z''xx-?, z''xу-?
Решение
Имеем:
Задание 4
Вычислить значение производной сложной функции u = u(x,y), где x = x(t),
y = y(t), при t = t0с точностью до двух знаков после запятой.
, 
, 
, t0= -1.
Решение
Если z = f(х;у) дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
Имеем:
; 
; 
; 
.
Таким образом
при t = -1 
.
Ответ: .
Задание 5
Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно, в данной точке М0(x0;y0;z0) с точностью до двух знаков после запятой.
, М0(0;1;-1).
Решение
Обозначим 
, тогда 
, 
. Находим:
, 
, 
. Тогда 
, 
.
В точке М0 значения производных: 
, 
Ответ:,.
Задание 6
Найти приближенное значение данного выражения с помощью дифференциала.
0,972,02.
Решение
Рассмотрим функцию z = xy. Тогда 0,972,02 = (х + Δх)y+Δy, где х = 1; Δх = -0,03;
у = 2; Δу = 0,02. Воспользуемся формулой:
. Находим
, z'x(1;2) = 2, 
, z'y(1;2) = 0. Таким образом
.
Ответ: 0,94.
Задание 7
Найти grad(z) в точке А и производную функции z = f(x,y) в точке А по направлению вектора 
.
; A(1;-1); 
Решение
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор: 
. Находим:
; 
. В точке А(1;-1) 
, 
. Таким образом: 
.
Производная функции z = f(x,y) по направлению вектора имеет вид:
, где cos(α) и cos(β) - направляющие косинусы вектора . Имеем: 
, 
. Таким образом, в точке A(1;-1)
.
Ответ:;.
Задание 8
Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к заданной поверхности S в точке М0(x0;y0;z0).
S: 
; М0(1;1;1).
Решение
Запишем данную функцию в виде: 
. Уравнение касательной плоскости имеет вид:
. Находим:
f(x0;y0) = f(1;1) = 1; 
; f'x(1;1) = -1;
; f'z(1;1) = 2,5.
Таким образом 
или 
.
Уравнение нормали имеет вид: 
.
Подставляя найденные ранее значения для частных производных, получаем:
Задание 9
Исследовать на экстремум функцию z = f(x,y).
Решение
Найдем критические точки, для чего сперва найдем частные производные:
; 
. Решая систему:
находим точку M(
; 
).
Найдем производные второго порядка:
; 
; 
. Составим определитель:
.
Поскольку Δ > 0 и 
, то в точке М функция z = f(x,y) принимает минимальное значение. zmin= z(; ) = 
.
Ответ: zmin= z(; ) = .
Задание 10
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f(x,y) в замкнутой области D. Сделать рисунок области D.
D: 
, y = 0.
Решение
Изобразим область D.
Наибольшее или наименьшее значение функция z = f(x,y) может принять либо внутри области D, либо на ее границе. Найдем критические точки, для чего сперва найдем частные производные:
; 
. Решая систему:
находим точку O(0;0). Поскольку данная критическая точка принадлежит границе области, то наибольшее и наименьшее значение функции также ищем на границе области.
На отрезке АC y = 0 и z = x2- 2. z' = 2x. Решая уравнение z' = 0, находим критическую точку: х = 0. О(0;0).
Вдоль параболы АВС , а значит 
или 
, 
. Решая уравнение z' = 0, находим критические точки: 
, 
. М(
;-3), N(
; 
).
Таким образом, наибольшее и наименьшее значение функции ищем среди значений, которые принимает данная функция z = f(x,y) в точках О(0;0), А(-1;0), М(;-3) и N(; ). Находим: z(0;0) = -2; z(-1;0) = z(1;0) = -1;
z(1;0) = -1; z(;-3) = 
; z(; ) = 
.
zmin= z(;-3) = ; zmax= z(; ) = .
Ответ: zmin= z(;-3) = ; zmax= z(; ) = .
