Дифференциальное исчисление функций

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Задание 1

 

Найти и изобразить на рисунке область определения функции z = f(x,y).

 

Решение

Данная функция определена, если или . Таким образом, область определения функции находится внутри параболы.

 

 

Задание 2

 

Найти точки разрыва функции z = f(x,y).

 

Решение

Точки разрыва функции будут наблюдаться там, где sin(πx) = 0 и sin(πу) = 0. Решая эти два уравнения, находим: х = у = 1, 2, 3,... Т.е. х є Z и у є Z.

Ответ: х є Z; у є Z.

Задание 3

 

Для функции z = f(x,y) найти указанные частные производные

, z''xx-?, z''xу-?

 

Решение

Имеем:

 

Задание 4

 

Вычислить значение производной сложной функции u = u(x,y), где x = x(t),

y = y(t), при t = t0с точностью до двух знаков после запятой.

, , , t0= -1.

 

Решение

Если z = f(х;у) дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

Имеем:

; ; ; .

Таким образом

при t = -1 .

Ответ: .

 

Задание 5

 

Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно, в данной точке М0(x0;y0;z0) с точностью до двух знаков после запятой.

, М0(0;1;-1).

 

Решение

Обозначим , тогда , . Находим:

, , . Тогда , .

В точке М0 значения производных: ,

Ответ:,.

 

Задание 6

 

Найти приближенное значение данного выражения с помощью дифференциала.

0,972,02.

 

Решение

Рассмотрим функцию z = xy. Тогда 0,972,02 = (х + Δх)y+Δy, где х = 1; Δх = -0,03;

у = 2; Δу = 0,02. Воспользуемся формулой:

. Находим

, z'x(1;2) = 2, , z'y(1;2) = 0. Таким образом

.

Ответ: 0,94.

 

 

Задание 7

 

Найти grad(z) в точке А и производную функции z = f(x,y) в точке А по направлению вектора .

; A(1;-1);

 

 

Решение

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор: . Находим:

; . В точке А(1;-1) , . Таким образом: .

Производная функции z = f(x,y) по направлению вектора имеет вид:

, где cos(α) и cos(β) - направляющие косинусы вектора . Имеем: , . Таким образом, в точке A(1;-1)

.

Ответ:;.

Задание 8

 

Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к заданной поверхности S в точке М0(x0;y0;z0).

S: ; М0(1;1;1).

 

Решение

Запишем данную функцию в виде: . Уравнение касательной плоскости имеет вид:

. Находим:

f(x0;y0) = f(1;1) = 1; ; f'x(1;1) = -1;

; f'z(1;1) = 2,5.

Таким образом или .

Уравнение нормали имеет вид: .

Подставляя найденные ранее значения для частных производных, получаем:

 

Задание 9

 

Исследовать на экстремум функцию z = f(x,y).

 

Решение

Найдем критические точки, для чего сперва найдем частные производные:

; . Решая систему:

находим точку M(; ).

Найдем производные второго порядка:

; ; . Составим определитель:

.

Поскольку Δ > 0 и , то в точке М функция z = f(x,y) принимает минимальное значение. zmin= z(; ) = .

Ответ: zmin= z(; ) = .

 

Задание 10

 

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f(x,y) в замкнутой области D. Сделать рисунок области D.

D: , y = 0.

 

Решение

Изобразим область D.

 

 

Наибольшее или наименьшее значение функция z = f(x,y) может принять либо внутри области D, либо на ее границе. Найдем критические точки, для чего сперва найдем частные производные:

; . Решая систему:

находим точку O(0;0). Поскольку данная критическая точка принадлежит границе области, то наибольшее и наименьшее значение функции также ищем на границе области.

На отрезке АC y = 0 и z = x2- 2. z' = 2x. Решая уравнение z' = 0, находим критическую точку: х = 0. О(0;0).

Вдоль параболы АВС , а значит или , . Решая уравнение z' = 0, находим критические точки: , . М(;-3), N(; ).

Таким образом, наибольшее и наименьшее значение функции ищем среди значений, которые принимает данная функция z = f(x,y) в точках О(0;0), А(-1;0), М(;-3) и N(; ). Находим: z(0;0) = -2; z(-1;0) = z(1;0) = -1;

z(1;0) = -1; z(;-3) = ; z(; ) = .

zmin= z(;-3) = ; zmax= z(; ) = .

Ответ: zmin= z(;-3) = ; zmax= z(; ) = .