Дії над комплексними числами

Мета: студенти повинні навчитись виконувати дії над комплексними числами.

Студенти повинні знати: означення дійсних ірраціональних, раціональних, цілих, натуральних чисел, комплексних чисел.

Студенти повинні вміти: виконувати обчислення над комплексними числами, записаними в різній формі.

Література: Л – 1, стор. 342., Л – 2, стор.17,

Л – 6, стор. 33 – 41, Л – 10, стор.33 – 45,

 

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) Що називають комплексним числом?

b) Як обчислити дії над даними числами?

c) За яким правилом виконують перетворення у тригонометричну форму комплексного числа?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Комплексне число z = a + bі, м одулем комплексного числа називається дійсне число .

Дії над комплексними числами: z = z₁ + z₂ = (a₁ +a₂) + (b₁ + b₂)і.

z = z₁ - z₂ = a₁ + b₁і – a₂ – b₂і = (a₁ – a₂) + (b₁ – b₂)і.

z = z₁ ∙z₂ = (a₁ + b₁і) (a₂ + b₂і) = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)і.

Наприклад:

 

Вираз r(cosφ+ іsinφ) називається тригонометричною функцією комплексного числа.

причому Кут φ = arctg b/a і залежить від чверті в якій знаходиться вектор комплексного числа. a = rcosφ; b = rsinφ. Звідси а + b і= rcosφ + rіsinφ = r (cosφ+ іsinφ).

Дії над комплексними числами у тригонометричній формі має вигляд:

 

z₁z₂ =r₁r₂(cosφ₁cosφ₂ +іsinφ₁ cosφ₂+іsinφ₂cosφ₁–sinφ₁sinφ₂) = =r₁r₂[cos(φ₁ φ₂) +і sin(φ₁ + φ₂)].

z^п = r^п(cosφ+ іsinφ)^п= r^п(cosпφ+ іsinпφ);

Розглядаючи функцію у=е^х для комплексногозмінного, Ейлер встановив співвідношення

е^іφ = cosφ+ іsinφ, тому кожне комплексне число можна записати z = r(cosφ+ іsinφ)= r е^іφ

Дій над даними числами виконуються згідно правил виконань дій із степеневими виразами.

Два комплексних числа називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини.

Наприклад: Обчислити невідомі при заданій рівності.

 

(9х-у)+(4х+6у)і=3-(4х-8у-4)і

 

 

 

Практична робота по темі:

Визначення елементів піраміди за допомогою

Координат вершин.

Мета: студенти повинні навчитись виконувати обрахунки з векторами, якщо вони визначені координатами точок.

Студенти повинні знати: означення векторів, правила виконання дій над векторами, різні види рівнянь І-го і ІІ-го порядків.

Студенти повинні вміти: виконувати обчислення над векторами, записувати рівняння прямої і площини використовуючи різні умови.

Література: Л – 1, стор. 88 – 92., Л – 6, стор. 53 – 73,

Л – 10, стор.285 – 311, Л – 11, стор. 45 – 57.

 

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) Як використовують скалярний добуток векторів?

b) Як визначити кут між прямою і площиною?

c) Як записати рівняння прямої що проходить через задані точки?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

 

1. Довжину ребра знаходимо як модуль вектора

 

=

2. Кут між ребрами знаходимо за формулою соs ( ^{^} ) = =

3. Кут між ребром і гранню знаходимо за формулою

де = ;- ; утворений з детермінанта площини

 

4. Площу грані знаходимо як площу трикутника, побудованого на векторах

 

5. Об'єм піраміди знайдемо за формулою

V = |( х ) • ,

6.. Рівняння прямої запишемо як рівняння прямої, що проходить через дві точки

7.. Запишемо рівняння площини, яка збігається з гранню А₁А₂А₃ як рівняння площини, що проходить через три точки А₁, А₂, А_з:

= 0,

 

Рисунок виконується у трьохвимірному координатному просторі за координатами вершин вказаних в умові

 

 

 

Практична робота по темі:

Задачі лінійного програмування.

Мета: студенти повинні навчитись розв’язувати задачі лінійного програмування

Студенти повинні знати: галузі застосування задач лінійного програмування, означення та методи розв’язання задач лінійного програмування.

Студенти повинні вміти: розв’язувати задачі лінійного програмування різними способами

Література: Л – 11, стор. 354 – 393.

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) Що називають задачами лінійного програмування?

b) В чому полягає графічний метод відшукання розв’язків задач лінійного програмування?

c) Яка двоїстість у задачах лінійного програмування?

1. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

На основі геометричної інтерпретації задач лінійного програмування розроблено графічний метод відшукання оптимальних значень функції. Використовують його для обмеженого класу задач із двома змінними, оскільки для чотирьох і більше змінних побудувати рисунок неможливо (а для трьох він не є наочним). Розв’язок шукаємо у такій послідовності:

1. Будуємо багатокутник розв’язків. Він утворюється внаслідок перетину окремих півплощин розв’язків З урахуванням обмежень х₁ ≥ 0,х₂ ≥ 0 багатокутник розв’язків завжди міститься у першому квадраті.

2. Знаходимо оптимальну точку. Вона за теоремою буде міститься у вершині багатокутника розв’язків. Лінії рівня, що проходять через оптимальні вершини багатокутника розв’язків, називають оптимальними (опорними). За допомогою вектора N можна на одному рисунку одночасно знайти max і min, тобто розв’язати відразу дві екстремальні задачі при одній і тій самій системі обмежень.

3. Обчислюємо оптимальні значення. Для цього знаходимо координати вершин max і min як загальний розв’язок рівнянь відповідних граничних прямих, що перетинаються в оптимальних вершинах. Знайдені координати підставляємо у Z й обчислюємо z_max та z_min.

Наприклад:Знайти найбільше і найменше значення функ­ції

z = -3 + 2х₁ + х₂ за таких обмежень:

Будуємо багатокутник розв'язків.

Для відшукання оптимальної точки будуємо вектор нормалі Початок цього вектора знаходиться в точці (0,0), а кінець - у точці (2,1). Рухаючись по лініях рівня в напрямку переконуємося, що z_max міститься в точці А, z_max – у точці С.

3. Обчислюємо оптимальні значення. Точка А є перетином граничних прямих І і II:

X₁+ X₂ =7

2X₁ + 3X₂ = - 4

Із рисунка випливає, що Х₁ = 5, Х₂ = 2, А = (5,2), a

z_max = 2· 5+1·2-3= 9.

Точка В (0,1) є перетином граничних прямих III та IV:

Х₂ = 1, Х₁ = 0.

Отже, z_min = 2· 0 + 1·1-3 = -2.

 

Практична робота по темі:

Транспортні задачі.

Мета: студенти повинні навчитись розв’язувати транспортні задачі з правильним і неправильним балансом

Студенти повинні знати: галузі застосування транспортних задач, різницю між задачами з правильним і неправильним балансом

Студенти повинні вміти: розв’язувати транспортні задачі

Література: Л – 11, стор. 436 – 445.

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) В чому полягає постановка транспортної задачі?

b) Які існують методи розв’язання транспортної задачі?

c) Як розв’язують задачі з неправильним балансом?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Оскільки транспортна задача є задачею лінійного програмування, її можна розв’язати багатьма способами. Виберемо найпростіший метод осереднених коефіцієнтів. За цим методом обчислюємо середні вартості в рядках і стовпцях матриці перевезення:

С_Аi = ; C_{Bj =}

Після цього знаходимо усереднені коефіцієнти k_ij за формулою k_ij = c_ij – (c_Ai + c_Bj).

Пункт відправ­лення	Пункт споживання	Запас
В1	В2	В3	В4	В5
А1
А2
А3
Потреба

Потім заповнюємо послідовно клітинки з найменшими значеннями коефіцієнтів к_іj. Сума чисел по рядку відповідає кількості запасів, сума чисел по стовпчику відповідає потребам.

Практична робота по темі:

Обчислення границі функції.

Мета: студенти повинні навчитись обчислювати границі різноманітних функцій, користуватися першою та другою визначною границею

Студенти повинні знати: методи. обчислення границі різноманітних функцій, першу і другу визначну границю.

Студенти повинні вміти: використовувати методи. обчислення границі різноманітних функцій, першу і другу визначну границю.

Література: Л – 1, стор. 149 – 175., Л – 2, стор. 74 – 81

Л – 6, стор. 161 - 177, Л – 10, стор.46 – 61,

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) Що називається границею функції?

b) Які існують правила обчислення границь?

c) Що називають першою та другою визначною границею?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

До першого типу віднесемо найпростіші границі виду [A],

До другого типу віднесемо границі виду де P(x), Q(x), – многочлени (а – скінчене число). Щоб розкрити цю невизначеність (знайти границю), треба знаменник і чисельник дробу поділити на (х – а), наприклад, (ділення многочленів виконується в стовпчик)

До третього типу віднесемо границі виду де P(x), Q(x), – многочлени або інші функції, що мають границі ∞. Щоб знайти цю границю, треба чисельник і знаменник поділити на , де n – найвищий степінь х, який входить в дріб.

До четвертого типу віднесемо границі з невизначеністю виду де P(x), Q(x), – вирази, що містять корені. Для їх розкриття необхідно помножити знаменник і чисельник дробу на спряжені вирази.

До п‘ятого типу віднесемо границі, в які входять тригонометричні чи обернені тригонометричні функції та містять невизначеність виду . Для знаходження таких границь необхідно використати першу визначну границю

Шостий тип (Друга визначна границя) – невизначеність виду . Друга визначна границя має вигляд

Наприклад

 

Практична робота по темі:

Обчислення похідної алгебраїчних функцій.

Мета: студенти повинні навчитись обчислювати похідну добутку та частки деяких функцій.

Студенти повинні знати: методи. обчислення границі різноманітних функцій, першу і другу визначну границю.

Студенти повинні вміти: використовувати методи. обчислення границі різноманітних функцій, першу і другу визначну границю.

Література: Л – 1, стор. 191 –214., Л – 2, стор. 85 – 91

Л – 6, стор. 217, Л – 10, стор. 65 – 77,

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

a) В чому полягає геометричний та фізичний зміст похідної функції?

b) Які існують правила обчислення похідної?

c) Як обчислюють похідну складної функції?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Правила диференціювання

I. .

ІІ.

ІІІ.

IV.

V.

Похідна складної функції: Якщо функція f(х) має похідну в т. х₀, а функція g(х) похідну в т. , то складна функція також має похідну в т. х_{0 .}

Наприклад