Тема 2. Поняття та попередній аналіз рядів динаміки

1. Показники динаміки часового ряду.

2. Систематичні та випадкові компоненти часового ряду.

3.І дентифікація моделі часового ряду.

 

1. Для вивчення просторових даних використовують технологію їх агрегування з побудовою інтервального ряду. Характеристиками інтервального ряду є: середнє значення, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнти асиметрії і ексцесу, мода та медіана. Їх зміст і призначення збігаються з варіаційними характеристиками, а формули розрахунку містять компоненту, яка враховує частоту попадання спостережень в інтервали.

У загальному випадку часовий ряд економічного показника можна розкласти на чотири структурно утворюючі елементи: тренд (f_t), сезонна компонента (s_t), циклічна компонента (с_t), випадкова компонента (ε_t).

Тренд, сезонна і циклічна компоненти не є випадковими і називаються систематичними компонентами часового ряду. Складова частина часового ряду, що залишається пі­сля вилучення з нього систематичних компонент, являє собою випадкову компоненту (залишки, помилки) ε_t. Оскільки випадкові відхилення неминуче супроводжують будь-яке макроекономічне явище, випадкова компонента є обов’язковою складовою часового ряду і визначає стохастичний характер його елементів у_t. Якщо побудована «якісна» модель прогнозування, то ε_t є близькою до нуля, випадковою, незалежною, нормально розподіленою компонентою, інакше модель вважається поганою.

Аналіз динаміки часового ряду містить такі послідовні зав­дання:

1) коригування рівнів динамічного ряду, якщо цього вимагають умови порівняльності;

2) визначення систематичних компонент динамічного ряду (функції f_t, s_t, c_t), які присутні у його розкладенні;

3) розрахунок оцінок тих функцій, які входять у розкладення часового ряду;

4) підбір моделі, яка адекватно описує поведінку випадкової компоненти ε_t, і статистичне оцінювання параметрів цієї моделі.

Цей процес прийнято називати ідентифікацією моделі.

Можна записати кілька окремих моделей динамічного ряду, наприклад:

· модель тренду y_t = f_t + ε_t;

· модель сезонності y_t = s_t + ε_t.

Моделі тренду і сезонності (тренд-сезонні) здатні відображати як відносно постійну сезонну хвилю, так і динамічно змінювану залежно від тренду. Перша форма належить до класу адитивних (y_t = f_t + s_t + ε_t), друга - до класу мультиплікативних (y_t =
= f_t · s_t · ε_t) моделей.

Послідовні значення рівнів часового ряду, які залежать один від одного, утворюють авторегресійні процеси. Одним із способів вимірювання зв’язку між поточними та минулими значеннями рівнів ряду є розрахунок коефіцієнтів автокореляції.

Пошук потрібної моделі ведеться в межах двох класів часових рядів: стаціонарних і нестаціонарних. Перевірка стаціонарності та оцінювання наявності тренду в дослідженні часового ряду (ідентифікація тренду) здійснюються за допомогою кількох способів. Стаціонарні ряди не мають тренду або періодичної зміни середнього та дисперсії.

Для ідентифікації трендів використовується метод аналізу автокореляції.

Поширеними методами виявлення тренду є перевірка різниць середніх рівнів і метод Форстера-Стьюарта.

Реалізація методу перевірки різниць середніх рівнів складається з чотирьох наступних кроків.

Крок перший. Вихідний часовий ряд y ₁, y ₂, y ₃, …, y_n розділяється на дві приблизно однакові за кількістю рівнів частини: у першій частині п ₁ перших рівнів вихідного ряду, у другій - п ₂ решта рівнів (п ₁ + п ₂ = п).

Крок другий. Для кожної з цих частин розраховуються середні значення і дисперсії:

; ;

; .

Крок третій. П еревірка однаковості (однорідності) дисперсій обох частин ряду за допомогою F- критерію Фішера, що порівнює розрахункове значення цього критерію

(2.1)

з табличним (критичним) значенням критерію Фішера F _α із заданим рівнем значущості (рівнем помилки) α.

Якщо розрахункове значення F менше за табличне F _α, то гіпотеза про рівність дисперсій приймається і слід перейти до четвертого кроку. Якщо F більше або дорівнює F _α, гіпотеза про рівність дисперсій відхиляється і робиться висновок, що даний метод не дає відповіді про наявність тренду.

На четвертому кроці перевіряється гіпотеза про відсутність тренду за допомогою t -критерію Стьюдента. Для цього визначається розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою:

, (2.2)

де σ - середньоквадратичне відхилення різниць середніх:

.

Якщо розрахункове значення t менше за табличне t _α, то нульова гіпотеза не відхиляється, тобто тренд відсутній, інакше тренд є. Зазначимо, що в даному разі табличне значення t _α береться для числа ступенів свободи, яке дорівнює п ₁ + п ₂ – 2, при цьому даний метод застосовується тільки для рядів з монотонною тенденцією. Недолік методу полягає у неможливості правильно визначити існування тренду у випадку, коли часовий ряд містить точку зміни тенденції в середині ряду.

Метод Форстера-Стьюарта має більші можливості і дає більш надійні результати, ніж попередній. Крім тренду самого ряду (тренду в середньому), він дозволяє встановити існування тренду дисперсії часового ряду: якщо тренду дисперсії немає, то розкид рівнів ряду постійний; якщо дисперсія збільшується, то ряд «розхитується», тощо. Реалізація методу також складає чотири кроки.

Крок перший. Порівнюється кожний рівень вихідного часового ряду, починаючи із другого рівня, з усіма попередніми, при цьому визначаються дві числові послідовності:

(2.3)

(2.4)

t = 2, 3, …, n.

Крок другий. Розраховуються величини s і d:

; (2.5)

. (2.6)

Неважко помітити, що величина s, яка характеризує зміну часового ряду, набуває значення від 0 (усі рівні ряду однакові) до п – 1 (ряд монотонний). Величина d характеризує зміну дисперсії рівнів часового ряду і змінюється від – (п – 1) (ряд поступово спа­дає) до (п – 1) (ряд поступово зростає).

Крок третій. Перевіряється гіпотеза про те, чи можна вважати випадковими: 1) відхилення величини s від μ - математичного сподівання величини s для ряду, в якому рівні розташовані випадково; 2) відхилення величини d від нуля.

Ця перевірка проводиться з використанням розрахункових значень t -критерію Стьюдента для середньої і для дисперсії:

; ; (2.7)

; , (2.8)

де μ - математичне сподівання величини s, визначеної для ряду, в якому рівні розташовані випадково; σ₁ - середньоквадратичне відхилення для величини s; σ₂ - середньоквадратичне відхилення для величини d.

Для зручності розраховані табульовані значення величин μ, σ₁ і σ₂; фрагмент цих значень подано в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Значення
μ	3,858	5,195	5,990	6,557
σ1	1,288	1,677	1,882	2,019
σ2	1,964	2,279	2,447	2,561

Крок четвертий. Розрахункові значення t_s i t_d порівнюються з табличним значенням t -критерію Стьюдента із заданим рівнем значущості t _α . Якщо розрахункове значення t менше за табличне t _α , то гіпотеза про відсутність відповідного тренду приймається, у протилежному випадку - тренд існує. Наприклад, якщо t_s більше табличного значення t _α , a t_d менше t _α , то для заданого часового ряду існує тренд у середньому, а тренду дисперсії рівнів ряду немає.

Термінологічний словник

Автокореляційна функція часового ряду - сукупність коефіцієнтів автокореляції.

Автокореляція - з алежність значень рівнів часового ряду від поперед­ніх (зрушення на 1, зрушення на 2 тощо) рівнів того ж часового ряду.

Авторегресійний процес - процес, в якому значення рівнів ряду перебувають у лінійній залежності від попередніх рівнів.

Багатовимірні часові ряди - ряди, які досліджують закономірності у взаємопов’язаній поведінці кількох одновимірних часових рядів.

Згладжування - оцінка трендової компоненти разом із сезонною та циклічною компонентами.

Інтервальні часові ряди - часові ряди, рівні яких створюються шляхом агрегування за певний проміжок (інтервал) часу.

Коваріація - міра залежності показника y_t від його минулих значень, які розглядаються з деяким запізненням у часі.

Лагові змінні - часові ряди екзогенних змінних, які зрушені на один або більше моментів часу.

Моментні часові ряди - часові ряди, які створені показниками, що характеризують економічне явище на певні моменти часу.

Нестаціонарний однорідний часовий ряд - часовий ряд y_t , якщо його випадковий залишок ε_t, що розраховується відніманням від ряду y_t невипадкових систематичних компонент f_t + s_t + c_t , утворює стаціонарний часовий ряд. Іншими словами, нестаціонар­ний динамічний ряд має тенденцію до зміни рівнів ряду у часі, тобто тренд.

Одновимірний часовий ряд - рівні одного показника, які розглядаються без використання будь-якої іншої змінної спостережень.

Рівні ряду динаміки - числові значення показника цього ряду.

Сезонні коливання - часові ряди економічних процесів, які мають періодичний або близький до нього характер (регулярні коливання) і закінчуються протягом одного року.

Cтаціонарні часові ряди - часові ряди, які мають постійні середню і дисперсію, а коваріація залежить тільки від часового інтервалу між двома окремими спостереженнями y_t та y_{t + τ} . Іншими словами, стаціонарний динамічний ряд не має тенденції до зміни середнього значення рівнів досить тривалий час.

Тренд - зміна часового ряду, яка визначає загальне спрямування розвитку економічного показника, основну його тенденцію.

Фільтрація компонент часового ряду - процес окремого розрахунку функцій f_t, s_t , c_t і ε_t ряду y_t .

Циклічні (кон’юнктурні) коливання - коливання, період яких становить кілька років і які пояснюються дією довгострокових економічних циклів.