Тема 5. Економетричні методи прогнозування

1.Математичний апарат макроеконометричних моделей прогнозування.

2.Макропрогнозування на основі регресійної моделі.

3.Порушення допущень регресійного аналізу.

1. Основу математичного апарату для економетричних моделей становлять такі розділи математичної статистики, як кореляційний і регресійний аналізи.

Кореляційний аналіз забезпечує:

· вимірювання ступеня зв’язку двох або більше змінних;

· відбирання чинників, що найбільш суттєво впливають на залежну змінну;

· віднаходження раніше невідомих причинних зв’язків (кореляція безпосередньо не розкриває причинних зв’язків між явищами, але визначає числове значення цих зв’язків та ймовірність суджень щодо їх існування).

Основними засобами аналізу є парні, частинні і множинні коефіцієнти кореляції.

Регресійний аналіз дозволяє розв’язувати такі завдання:

· встановлення форм залежності між однією ендогенною та однією або кількома екзогенними змінними (додатна, від’ємна, лінійна, нелінійна). Ендогенна змінна звичайно позначається Y, а екзогенна (екзогенні), яка ще інакше називається регресором, - X;

· визначення функції регресії. Важливо не тільки вказати загальну тенденцію зміни залежної змінної, а й з’ясувати, який був би вплив на залежну змінну головних чинників, якщо б решта (другорядні, побічні) чинників не змінювалася (перебували на тому самому середньому рівні) і були виключені випадкові елементи;

· оцінювання невідомих значень залежної змінної.

Відомі різні види множинної регресії: лінійна, покрокова, гребенева тощо.

2. Макропрогнозування на основі регресійної моделі. Коли регресійна модель використовується для прогнозування величини Y, при відомих значеннях Х незміщена оцінка точкового прогнозу запишеться так:

, (5.1)

де X_p - заданий на перспективу рядок матриці екзогенних змінних Х при i = p;

Y_р - точковий прогноз ендогенної змінної на основі економетричної моделі.

Якість прогнозу тим вища, чим повніше виконуються допущення моделі в прогнозований період, надійніше оцінені параметри моделі, точніше визначені значення екзогенних змінних для періоду упередження прогнозу.

Зв’язок між ендогенною змінною Y і однією або кількома екзогенними змінними Х може бути нелінійним. Існують два шляхи розв’язання цієї проблеми:

· перетворити дані та застосувати лінійну регресію;

· застосувати методи нелінійної регресії.

За допомогою коефіцієнтів регресії неможливо порівняти вплив чинників на ендогенну змінну через розбіжність одиниць виміру і ступеня коливання. Порівняльні характеристики можна одержати, розрахувавши коефіцієнти еластичності, бета-коефіцієнти. За їх допомогою можна визначити ранги чинників за ступенем їх впливу на залежну змінну, тобто зіставити їх між собою за величиною цього впливу. Разом з тим не можна безпосередньо оцінити частку впливу певного чинника у загальній дії всіх чинників. З цією метою використовуються дельта-коефіцієнти.

Для економічного тлумачення нелінійних зв’язків користуються коефіцієнтом еластичності, який характеризує відносну зміну залежної змінної при зміні пояснюючої змінної на 1 %. Якщо рівняння регресії має вигляд у = f (х), то коефіцієнт еластичності розраховується так:

. (5.2)

Бета-коефіцієнт. Для усунення різниць у вимірі і ступені коливання чинників використовується β-коефіцієнт, або коефіцієнт регресії у стандартизованому вигляді:

, (5.3)

де - коефіцієнт регресії біля j- ї змінної; - оцінка середньоквадратичного відхилення j- ї змінної; - оцінка середньоквадратичного відхилення залежної змінної.

Коефіцієнт показує, на яку частину величини середньоквадратичного відхилення змінюється середнє значення залежної змінної, коли відповідна незалежна змінна збільшується на одне середньоквадратичне відхилення, а решта незалежних змінних залишається сталими.

Дельта-коефіцієнт. Частка кожного чинника у загальному впливі чинників на залежну змінну становить:

(5.4)

де R ² - коефіцієнт множинної детермінації; r_j - коефіцієнт парної кореляції мiж j -м чинником і залежною змінною; β _j -β-коефіцієнт.

За коректно зробленим аналізом величини дельта-коефіцієнтів додатні, тобто всі коефіцієнти регресії мають той самий знак, що й відповідні парні коефіцієнти кореляції. Але у разі значної корельованості пояснюючих змінних деякі дельта-коефіцієнти можуть бути від’ємними, через те що відповідний коефіцієнт регресії має знак, протилежний парному коефіцієнту кореляції.

Порушення допущень регресійного аналізу. Ускладнення методів оцінювання параметрів рівняння регресії і прогнозування ендогенної змінної породжується невиконанням допущень регресійного аналізу. На особливу увагу заслуговують такі порушення, якмультиколінеарність, гетероскедастичність, автокореляція залишків.

Мультиколінеарність означає корельованість екзогенних змінних. Якщо дві або декілька незалежних змінних у множинній регресії корелюють між собою, регресійна модель не в змозі виділити особистий вплив кожної з них на залежну змінну. Мультиколінеарність особливо часто трапляється в аналізі таких макроекономічних даних, як доходи і виробництво, де інфляція, наприклад, може впливати на обидва ряди. Точного граничного значення рівня кореляції змінних, за якого виникає проблема мультиколінеарності, не існує, отже, слід діяти на власний розсуд. При мультиколінеарності коефіцієнти регресії нестабільні як в розумінні статистичної значущості, так і за величиною та знаком, тому вони ненадійні. Значення коефіцієнтів R ² можуть бути високими, але значні і стандартні помилки, звідси і t -критерії малі, що свідчить про незначущість параметрів моделі.

Гетероскедастичність. Залишки з постійною дисперсією називаються гомоскедастичними, якщо ж дисперсія змінюється, то - гетероскедастичними. Гетероскедастичність призводить до втрати коефіцієнтами регресії якості кращих оцінок або оцінок з мінімальною дисперсією, отже вони не ефективні.

Вплив гетероскедастичності на оцінку інтервалу прогнозування і перевірку гіпотези про значущість параметрів моделі полягає в тому, що, хоч параметри не зміщені, дисперсії і стандартні помилки цих параметрів будуть зміщеними. Якщо зміщення від’ємне, то оцінки стандартних помилок будуть меншими за справжні їх значення, а критерій перевірки, t -статистика, буде більшим, ніж насправді. Отже, можливий хибний висновок про значущість параметра. І навпаки, якщо зміщення додатне, то оцінки стандартних помилок будуть більшими за справжні їх значення, а критерій перевірки - меншим. Тоді можна помилково прийняти нульову гіпотезу, коли вона має бути відхилена.

Автокореляція залишків найчастіше виникає, коли макроеконометрична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої екзогенної змінної, то вона спостерігатиметься і стосовно послідовних значень залишків. Автокореляція може бути також наслідком помилкової специфікації моделі; її наявність може означати, що необхідно ввести до моделі додаткову незалежну змінну, або лінійна модель повинна бути нелінійною. Введення змінних із лагами теж може привести до автокореляції.

Залежності між залишками задовольняють авторегресійній схемі. Наприклад, якщо залишок е_t знаходиться під впливом залишку з попереднього періоду часу е_t _{– 1} і будь-якого значення випадкової змінної u_t, то ця залежність запишеться як авторегресійна функція першого порядку (AR1):

. (5.5)

Величина u_t характеризує коваріацію залишків.

Якби поточна величина залишку були під впливом двох попередніх залишків, то авторегресійна функція другого порядку (AR2) мала б такий вигляд:

. (5.6)

Завдяки регресійній моделі за МНК отримують незміщені оцінки з мінімальною дисперсією тільки тоді, коли залишки незалежні один від одного. Якщо існує автокореляція, то параметри регресії не зміщені, але їх стандартні помилки будуть недооцінені і перевірка параметрів регресії буде ненадійною.

Перевірка наявності автокореляції першого порядку виконується за критерієм Дарбіна-Уотсона (DW):

. (5.7)

Він може набувати значень з проміжку [0, 4]. Якщо залишки е_t є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення DW знаходяться поблизу 2. При додатній автокореляції DW майжедорівнює0, при від’ємній - 4. Фактичні значення критерію порівнюються з критичними (табличними) при заданій кількості спостережень п і числі незалежних змінних k для вибраного рівня значущості α. Табличні значення мають нижню межу DW ₁ і верхню - DW ₂.

Коли DW _факт < DW ₁, то залишки мають додатну автокореляцію. Коли DW _факт > 4 – DW ₁, то залишки мають від’ємну автокореляцію. Якщо DW _факт > DW ₂, то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Коли DW ₁ < DW < DW ₂, точні висновки не можливі, необхідні подальші дослідження з більшою сукупністю спостережень.

Щоб розв’язати проблему автокореляції, спочатку слід розглянути можливість виключення помилок специфікації моделі. Якщо це не допомагає, можна використати процедуру Кочрена-Оркатта.

Термінологічний словник

Автокореляція залишків - кореляційна залежність між значеннями залишків ε _t за поточний і попередній моменти часу.

Дисперсійний аналіз - аналіз результатів спостережень, які залежать від різноманітних одночасно діючих чинників, вибір найважливіших чинників та оцінювання їх впливу.

Екзогенна змінна - змінна (пояснююча змінна), яка відбиває головним чином властивості прогнозного фону (незалежна змінна).

Ендогенна змінна - змінна, яка відбиває власні властивості об’єкта прогнозування (залежна змінна).

Коваріація залишків - рівень взаємозв’язку кожного наступного значення з попереднім екзогенної змінної.

Кореляційний аналіз - аналіз, який вивчає кореляційні зв’язки між випадковими величинами.

Кореляційний зв’язок - зв’язок між двома випадковими величинами, коли математичне сподівання однієї з них змінюється залежно від зміни другої випадкової величини.

Незміщена оцінка прогнозу - нульова різниця між математичним сподіванням оцінки і значенням оціненого прогнозу.

Регресійний аналіз - аналіз форм зв’язку, які відтворюють кількісні співвідношення між випадковими величинами.

Системи сумісних, одночасних рівнянь (структурна форма моделі) - система, в якій одні й ті самі змінні в одних рівняннях входять до лівої частини, а в інших - до правої частини рівнянь, або одні й ті самі змінні одночасно розглядаються як ендогенні в одних рівняннях і як екзогенні - в інших.

Специфікація моделі - добір пояснюючих змінних та визначення аналітичної форми залежності між ними.

Тема 6. ОЦІНКА ПРОГНОЗІВ

1.Поняття оптимального прогнозу.

2.Оцінка адекватності прогнозної моделі.

3.Оцінка точності прогнозної моделі та прогнозів.

4.Побудова узагальненого прогнозу.

1. Оптимальним прогнозом вважається найкращий прогноз, який можна одержати за наявних обставин. Часто його називають прогнозом раціональних сподівань. Важливо усвідомити, що раціональні сподівання можуть відрізнятися від фактичних значень, але будь-яка різниця має бути випадковою та непередбачуваною. Оскільки раціональні сподівання ґрунтуються на коректній економічній теорії, вони мають властивості незміщеності (за умови квадратичної функції витрат) та ефективності. Вимога незміщеності означає, що помилка прогнозу має нульове математичне сподівання. Ефективність передбачає використання всієї доступної інформації, отже помилка прогнозу некорельована з цією інформацією.

Існують численні критерії перевірки того, чи є послідовність прогнозів раціональною. Стандартний критерій незміщеності потребує оцінки моделі

, (6.1)

де y_t - ряд фактичних значень або спостережень; F_t -ряд значень прогнозу; u_t - залишки.

Потім перевіряється гіпотеза, чи α = 0 та β = 1 водночас.

Перевірка ефективності є більш складною, оскільки неможливо коректно визначити відповідний масив інформації, стосовно якого помилки прогнозу мають бути некорельованими.

Сьогодні не знайдено ефективного методу оцінювання якості прогнозу до його реалізації, тому традиційно аналізують якість моделі прогнозування, за якою був одержаний результат, а не якість самого результату. Розглянемо оцінювання якості прогнозу за стандартними критеріями адекватності і точності прогнозованої моделі.

2. Оцінювання адекватності прогнозованої моделі. Незалежно від виду і способу побудови економіко-математичної моделі питання про можливість її застосування з метою аналізу і прогнозу економічного явища може бути вирішено тільки після встановлення адекватності моделі. Оскільки повної відповідності моделі реальному процесу або об’єкту бути не може, адекватність певною мірою умовне поняття. При моделюванні мається на увазі адекватність не взагалі, а тим властивостям моделі, які вважаються суттєвими для дослідження.

Модель згладжування певного часового ряду вважається адекватною, якщо правильно відображає систематичні компоненти часового ряду. Ця вимога еквівалентна вимозі, щоб залишкова компонента (t = 1, 2,..., n) відповідала таким властивостям випадкової компоненти часового ряду як: випадковість коливань рівнів залишкової послідовності, відповідність розподілу випадкової компоненти нормальному закону, рівність математичного сподівання випадкової компоненти нулю, незалежність значень рівнів випадкової компоненти. Розглянемо, яким чином здійснюється перевірка цих властивостей залишкової послідовності.

Перевірка випадковості коливань рівнів залишкової послідовності означає перевірку гіпотези про правильність вибору виду тренду. Для дослідження випадковості відхилень від тренду розраховують набір різниць (t = 1, 2,..., n). Характер цих відхилень вивчається за допомогою ряду непараметричних критеріїв. Одним з таких критеріїв є «критерій серій», який використовує медіану вибірки.

Перевірка відповідності розподілу випадкової компоненти нормальному закону розподілу може бути зроблена лише наближено за допомогою дослідження показників асиметрії (А) і ексцесу (Е), оскільки часові ряди, як правило, не дуже довгі. При нормальному розподілі показники асиметрії і ексцесу певної генеральної сукупності дорівнюють нулю. Припустимо, що відхилення від тренду являють собою вибірку з генеральної сукупності, тому можна визначити тільки вибіркові характеристики асиметрії й ексцесу та їхні помилки:

; ; (6.2)

; , (6.3)

де - вибіркова характеристика асиметрії; - вибіркова характеристика ексцесу; і - відповідні середньоквадратичні помилки.

Якщо одночасно виконуються такі нерівності:

; ,

то гіпотеза про нормальний характер розподілу випадкової компоненти приймається.

Якщо виконується хоча б одна з цих нерівностей:

; ,

то гіпотеза про нормальний характер розподілу відхиляється, трендова модель визнається неадекватною. Інші випадки потребують додаткової перевірки за допомогою складніших критеріїв.

Перевірка рівності математичного сподівання випадкової компоненти нулю, якщо вона розподілена за нормальним законом, виконується на основі t- критерію Стьюдента. Розрахункове значення цього критерію задається формулою

, (6.4)

де - середнє арифметичне значення рівнів залишкової послідовності ; - стандартне (середньоквадратичне) відхилення для цієї послідовності.

Якщо розрахункове значення t менше табличного значення t _αстатистики Стьюдента із заданим рівнем значущості α і числом ступенів свободи п – 1, то гіпотеза про рівність нулю математичного сподівання випадкової послідовності приймається, в протилежному випадку ця гіпотеза відхиляється і модель вважається неадекватною.

Перевірка незалежності значень рівнів випадкової компоненти, тобто перевірка відсутності суттєвої автокореляції в залишковій послідовності, може здійснюватися за рядом критеріїв, найбільш поширеним з яких є DW -критерій Дарбіна-Уотсона. Зазначимо, що розрахункове значення критерію Дарбіна-Уотсона в інтервалі від 2 до 4 свідчать про від’ємний зв’язок. У цьому випадку його треба перетворити за формулою DW' = 4 – DW і далі використовувати значення DW'.

Висновок про адекватність трендової моделі робиться, якщо всі розглянуті вище чотири перевірки властивостей залишкової послідовності дають позитивний результат.

Оцінка точності прогнозованої моделі та прогнозів. Точність моделі характеризується близькістю розрахункових значень до фактичних спостережень на періоді апроксимації. Вважається, що моделі з меншим розходженням між фактичними і розрахунковими значеннями краще відображають досліджуваний процес. Для характеристики ступеня близькості використовуються такі описові статистики: середнє квадратичне відхилення (або дисперсія), коефіцієнт детермінації (чим ближче до 1, тим точніша модель), середня відносна помилка апроксимації (чим ближче до 0, тим точніша модель), максимальне відхилення тощо.

Розглянуті показники точності моделей розраховуються на основі всіх рівнів часового ряду і тому відображають лише точність апроксимації. На їх основі можна зробити вибір з декількох адекватних трендових моделей економічної динаміки найбільш точної, хоча можливо, коли за одним показником більш точна одна модель, а за іншим - інша.

Параметричні характеристики точності прогнозів. Статистично точність прогнозів можна оцінити, використовуючи тільки так званий ретроспективний прогноз. Для його здійснення інформація ділиться на дві частини. Частина, що охоплює більш давнішні спостереження, використовується для оцінювання параметрів побудованої моделі, друга, пізніша, розглядається як реалізація прогнозу. Одержані таким чином помилки прогнозу характеризують точність застосованої методики прогнозування. Якщо позначити прогнозовані значення F_t, а фактичні дані y_t, найбільш популярні описові статистики точності ретроспективного прогнозу мають такі формули розрахунку:

· середньоквадратична помилка MSE

; (6.5)

· корінь квадратний з середньоквадратичної помилки

; (6.6)

· середня абсолютна помилка

; (6.7)

· корінь з середньоквадратичної помилки у відсотках

, (6.8)

· середня абсолютна помилка у відсотках

. (6.9)

Поряд з МАРЕ можна розглядати медіану абсолютних помилок у відсотках (MdAPE), яка має перевагу у разі асиметричного розподілу помилок, коли середнє може бути зміщеним унаслідок небагатьох екстремальних значень.

Недоліком обговорених вище характеристик точності прогнозів є їх залежність від обраних одиниць виміру. Безрозмірним показником, аналогічним до коефіцієнта кореляції, є коефіцієнт нерівності Тейла:

. (6.10)

У чисельнику стоїть RMSE, а знаменник складається із суми коренів середніх значень квадратів фактичних та прогнозованих величин. Перевага коефіцієнта Тейла полягає в тому, що його значення завжди знаходяться у межах від нуля до одиниці. Якщо всі прогнози абсолютно точні, то U = 0. Якщо всі прогнози дорівнюють 0, а жодне з фактичних значень не дорівнює 0 або навпаки, U дорівнюватиме 1. Таким чином, малі значення U вказують на те, що прогноз є точним.

MSE використовують також для порівняння точності різних прогнозів.

Обговорені характеристики точності прогнозів є параметричними в тому сенсі, що вони потребують виконання заданих припущень стосовно властивостей математичного сподівання та дисперсії випадкових змінних, які чинні за умов нормальності відповідних розподілів. Наприклад, використовуючи MSE, ми неявно припускаємо, що всі помилки прогнозу мають однакові і постійні математичні сподівання та дисперсії.

Непараметричні характеристики аналізу точності прогнозів не залежать від виду розподілу, а отже, не потребують припущення про нормальність розподілів. Це особливо корисно, коли йдеться про дані, які не дозволяють використовувати числові шкали. До непараметричних критеріїв належать: критерій знаків та рангові критерії.

Інтегровані критерії точності й адекватності. Схема формування інтегрованих критеріїв точності й адекватності, а також загального критерію якості прогнозів полягає в тому, що формується склад окремих критеріїв, на основі яких розраховується інтегрований показник.

Попередньо для кожного окремого критерію розробляється процедура його нормування. Нормований критерій одержується з вихідної статистики критерію таким чином, щоб виконувалися умови: нормований критерій дорівнює 100, якщо модель абсолютно точна (адекватна); нормований критерій дорівнює 0, якщо модель абсолютно неточна (неадекватна).

Узагальнений критерій якості моделі розраховується як зважена сума узагальненого критерію точності (його значення 0,75) і узагальненого критерію адекватності (його значення 0,25), тобто точності приділяється більше значення. Для характеристики точності використовується нормоване значення середньої відносної помилки апроксимації, а критерії адекватності визначають через нормоване значення критерію Дарбіна-Уотсона і характеристики нормального закону розподілу залишкової компоненти.

Побудова узагальненого прогнозу. На практиці часто зустрічається ситуація, коли кілька прогнозованих моделей можуть бути адекватними, з невеликою різницею між їх характеристиками. У цьому випадку доцільно будувати узагальнений прогноз, який являє собою лінійну комбінацію окремих прогнозів:

, (6.11)

де М - кількість об’єднаних прогнозів; p_j - вагові коефіцієнти окремих прогнозів; F_j - окремі прогнози.

Вагові коефіцієнти визначаються з умови мінімуму дисперсії помилок узагальненого прогнозу (максимуму його точності), яка знаходиться як сума всіх елементів коваріаційної матриці помилок окремих прогнозів із відповідними вагами.

Алгоритм об’єднання окремих прогнозів має такі кроки:

1. Обчислюються дисперсії помилок окремих прогнозів і будується коваріаційна матриця:

, j = 1,…, M,

де e_j - помилки окремих прогнозів; t - порядковий номер спостереження, t = 1,…, п;

2. Будуються матриця В і вектор С за формулами:

;

3. Через розв’язання системи лінійних рівнянь одержують
(М – 1) значення р_j, при цьому значеневий коефіцієнт р_М визначається як:

4. Перевіряється умова:

p_j > 0, j = 1,..., М.

При цьому:

а) якщо умова не виконується, прогнози виключаються і перераховуються вагові коефіцієнти (із поверненням до п. 2);

б) якщо всі вагові коефіцієнти додатні, то розраховується значення узагальнюючого прогнозу F і коефіцієнт умовної ефективності

; ,

де - дисперсія помилок комплексного прогнозу; - дисперсія помилок найкращого окремого прогнозу.

5.Оскільки в більшості випадків точність прогнозів змінюється в часі, формули оцінки вагових коефіцієнтів модифікуються так, щоб пізнішим помилкам надати більшого значення. Отже, шляхом зміни вагових коефіцієнтів у бік найкращого окремого прогнозу F_jt коригується узагальнений прогноз:

де p_jt - вагові коефіцієнти окремих прогнозів у момент часу t;
F_jt - окремий прогноз у момент часу t; F_t - узагальнений прогноз у момент часу t.

Для підвищення стабільності динаміки зміни ваги в алгоритмі її коригування можна використовувати схему експоненційного згладжування.

У цілому для проведення узагальнення необхідно мати не менше двох адекватних моделей, а для підвищення стійкості результатів кількість узагальнюваних окремих прогнозів не повинна перевищувати п’яти.

Термінологічний словник

Адекватність прогнозної моделі - відповідність моделі процесу або об’єкту дослідження.

Апроксимація - наближене зображення одних математичних об’єктів іншими.

Верифікація моделі - перевірка моделі на достовірність.

Інтервальний прогноз -певний простір точкового прогнозу, його розмір задається нижньою та верхньою межами.

Оптимальний прогноз - передбачення, зроблене на основі економічної теорії, яке використовує всю доступну на момент побудови прогнозу інформацію.

Ретроспективний прогноз - прогноз, який використовується для верифікації моделі, коли всі значення змінних відомі.

Точковий прогноз - конкретне значення прогнозованого показника в певний момент часу.

Точність прогнозної моделі - близькість розрахункових значень до фактичних спостережень за період апроксимації.

Узагальнений прогноз - прогноз, який являє собою лінійну комбінацію окремих кількох адекватних прогнозів.