Лекция 2.
Информационно-логические основы построения вычислительных машин. Представление информации в ВМ.
Информационно-логические основы построения вычислительных машин охватывают круг вопросов, связанных с формами и системами представления информации в компьютерах, а также с логико-математическим синтезом вычислительных схем и схемотехникой электронных компонентов компьютера. Так как последние вопросы представляют интерес только для специалистов технического профиля, в данном разделе рассмотрены только базовые понятия логического синтеза.
Представление числовой информации в ВМ.
Системой счисления называется способ изображения чисел с помощью ограниченного набора символов, имеющих определенные количественные значения. Систему счисления образует совокупность правил и приемов представления чисел с помощью набора знаков (цифр).
Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах каждая цифра числа имеет определенный вес, зависящий от позиции цифры в последовательности, изображающей число. Позиция цифры называется разрядом. В позиционной системе счисления любое число можно представить в виде:
(1)
где 
– i-я цифра числа; k – количество цифр в дробной части числа; m - количество цифр в целой части числа; N – основание системы счисления.
Основание системы счисления N показывает, во сколько раз “вес” i-го разряда больше (i-1) разряда. Целая часть числа отделяется от дробной части точкой (запятой).
Пример 2.1. А10=37,25.
В соответствии с формулой (1) это число формируется из цифр с весами рядов:
А 10=3*101+7*100+2*10-1+5*10-2.
Теоретически наиболее экономичной системой счисления является система с основанием е =2,71828..., находящимся между числами 2 и 3.
Во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено:
- более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;
- более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют всего два состояния (0 и 1);
- экономичностью аппаратурной реализации всех схем ЭВМ.
При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (0 и 1). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:
• двоичная- {0,1};
• десятичная, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0, 1,...,9};
• шестнадцатеричная - {0,1,2,...9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10, В-число 11,..., F-число 15;
• восьмеричная (от слова восьмерик) - {0,1,2,3,4,5,6,7}. Она широко используется во многих специализированных ЭВМ.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 24 и 8 = 23. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.
Пример 2.2. Число в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления имеет следующее представление:
А2=1100100,11; (A2=1*26+1*25+0*24+0*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2)
А8=144.5; (A8=1*82+4*81+4*80+5*8-1;)
A16=64.A; (A16=6*161+4*160+10*16-1.)
Представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное преобразование их из одной системы в другую. В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически по специальным программам. Правила перевода целых и дробных чисел отличаются.
Перевод целых чисел
Целое число с основанием N1 переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного деления числа N1, на основание N2, записанного в виде числа с основанием N1, до получения остатка. Полученное частное следует вновь делить на основание N2, и этот процесс надо повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном полученному при делении. Сформированное число и будет являться числом с основанием N2.
Перевод дробных чисел
Дробное число с основанием N1 переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного умножения N1 на основание N2, записанное в виде числа с основанием N1. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющего число N1 в системе счисления N2.
Так как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы связаны через степени числа 2, то преобразования между ними можно выполнять другим более простым способом. Для перевода из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы счисления в двоичную достаточно двоичным кодом записать шестнадцатеричные коды цифр тетрадами (по 4 двоичных разряда) и триадами (по 3 двоичных разряда) - для восьмеричных цифр. Обратный перевод из двоичного кода производится в обратном порядке: двоичное число разбивается влево и вправо от границы целой и дробной частей на тетрады - для последующей записи цифр в шестнадцатеричном представлении, на триады - для записи их значений восьмеричными цифрами.
