Свертывание критериев в многокритериальных задачах

Реально редко удается представить единственный критерий операции. Такая ситуация, как правило, отражает нечеткое понимание исследователем своих целей при постановке задачи. Следствием таких неопределенных ситуаций часто являются модели операции, в которых нет единого критерия эффективности. Вместо этого появляется вектор-функция параметров, состоящая обычно из всех или части фазовых координат. Очевидно, что каждую составляющую вектора W(x,y) следует увеличивать (или уменьшать), но остается неясным, какие именно комбинации значений составляющих вектора следует предпочитать другим, когда нет возможности (а чаще всего это именно так) увеличивать или уменьшать их одновременно.

В реальных задачах проектирования, как правило, преследуется не одна, а несколько целей, и поэтому практически всегда возникает задача объединения операций. Так, например, проектировщик желает, чтобы его бизнес-проект (например, проектируемое предприятие) обеспечивал максимальную прибыль, имел минимальные капиталовложения, максимальную технологичность, минимальные энергетические затраты и т.п. Зачастую эти частные критерии противоречивы, и изменение управляющих переменных, приводящее к желательному увеличению одного из критериев, приводит к нежелательному увеличению (или уменьшению) другого частного критерия. Ставится задача, как же составить единый критерий? Рассмотрим ряд способов объединения (свертывания) критериев, т.е. функций W_c = F(W_j), которые наиболее часто фигурируют в практике исследования операций.

1. Суммирование или «экономический» способ соединения, когда целью объединенной операции является максимизация суммарного критерия типа

Wc = Sl_jW_j = l₁W₁+ l₂W₂+ l₃W₃+... + l_sW_s ® max

Коэффициенты l_j называются весовыми коэффициентами или просто «весами» критериев. Величина этого коэффициента соответствует важности того или иного критерия: чем важнее увеличение данного частного критерия, тем больше должна быть величина весового коэффициента. Положительный знак весового коэффициента соответствует критериям, которые следует увеличивать, а для частных критериев, которые минимизируются, могут быть приняты отрицательные значения весовых коэффициентов.

При таком способе объединения критериев всегда остается проблемой выбор величин весовых коэффициентов. Здесь зачастую нет достаточно обоснованных решений, и поэтому, хотя именно этот способ применяется чаще всего, следует серьезно подходить к проблеме назначения этих коэффициентов.

Частным случаем приведенной свертки критериев является критерий в виде дроби, в числителе которой стоят те величины, увеличение которых желательно, а в знаменателе – те, увеличение которых нежелательно. Например, в числителе – критерий, соответствующий комфортности спроектированного жилья, а в знаменателе – стоимость здания. Главным пороком таких «составных» критериев является то, что здесь в принципе недостаток в одном критерии может быть скомпенсирован за счет другого; скажем, недостаточная комфортность жилья за счет стоимости здания. Критерии подобного типа, как указывает Е.Вентцель, напоминает в шутку предложенный Л.Н.Толстым «критерий для оценки человека», в виде дроби. В числителе дроби стоят действительные достоинства человека, а в знаменателе – его мнение о себе. Несостоятельность такого критерия очевидна, так как по нему человек, почти не имеющий достоинств, но совсем не обладающий самомнением, будет иметь бесконечно большую ценность.

Почему критерий в виде дроби – это частный случай «экономического» свертывания критериев? Представим объединенный критерий в виде дроби, где различные частные критерии возведены в некоторые выбранные степени, соответствующие «важности» критериев:

Wc = (W₁^l1 * W₂^l2 *...)/(W_i^li * W_i+1^li+1 *...)

Теперь прологарифмируем дробь

lgWc = l₁ W₁ + l₂ W₂ +.... + l_iW_i + l_i+1 W_i+1 = S l_i W_i

Как видим, получили критерий в виде суммы.

Однако указанный недостаток такой свертки критериев не означает, что этим способом нельзя пользоваться. Такого рода критерии могут быть с успехом использованы, если на частные критерии накладываются соответствующие ограничения, не позволяющие какому-то отдельному частному критерию стать меньше (или больше) предельно допустимого значения.