Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

 

1) Последовательно выполнить деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получите неполное частное, меньшее делителя;

2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

П 1.18. Перевести число 37₁₀ в двоичную систему счисления. Для обозначения цифр в записи числа используем символику: а₅ а₄ а₃ а₂ а₁ а₀.

Отсюда 37₁₀ = 100101₂.

 

П 1.19. Перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления:

 

 

Отсюда следует: 315₁₀ = 473₈ = 13В₁₆.

Напомним, что 11₁₀ = В₁₆.

 

Перевод двоичных чисел в системы счисления с основанием 2ⁿ

 

Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2 ⁿ (4, 8, 16 и т.д.), нужно:

1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой группе;

2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n -разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2 ⁿ.

Ниже приводится таблица с числами систем счисления с основаниями q = 2 ⁿ, где n = 1, 3, 4 и десятичной системы счисления.

 

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
			А
			B
			C
			D
			E
			F

П 1.20. Перевести число 1100101001101010111₂ в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число на группы по три цифры – триады (т.к. q = 8, 8 = 2 ⁿ, n = 3) справа налево и, пользуясь таблицей, записываем соответствующее восьмеричное число.

Ответ: 1451527₈

П 1.21. Перевести число 1100101001101010111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем число на группы по четыре цифры – тетрады (т.к. q = 16, 16 = 2 ⁿ, n = 4) справа налево и, пользуясь таблицей, записываем соответствующее шестнадцатеричное число.

Ответ: 65357₁₆

П 1.22. Чему равно значение основания системы счисления Х, если известно, что 175 _Х = 7D₁₆?

Решение: Запишем числа 175 _Х и 7D₁₆ в десятичной системе счисления.

175 _Х = Х ² + 7 Х + 5,

7D₁₆ = 7·16 + 13 = 125.

Но так как эти числа равны, то Х ² + 7 Х + 5 = 125.

Корни полученного квадратного уравнения: Х = 8 и Х = -15 (не подходит, так как основание системы счисления не может быть отрицательной величиной). Следовательно, основание системы счисления – 8.

Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2 ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n -разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Применительно к компьютерной информации часто используются системы с основанием 8 (восьмеричная) или 16 (шестнадцатеричная).

П 1.23. Перевести двоичное число 110111101011101111 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Если в крайней левой группе окажется меньше четырех цифр, то дополним ее нулями

0011 0111 1010 1110 1111.

А теперь, глядя на двоично-шестнадцатеричную таблицу, заменим каждую двоичную группу на соответствующую шестнадцатеричную цифру

3 7 А Е F.

Следовательно

110111101011101111₂ = 37AEF₁₆.

 

Тестовые задачи

 

Т 1.21. В саду 100 _q плодовых кустарников, из них 33 куста малины, 22 куста смородины красной, 16 кустов черной смородины и 17 кустов крыжовника. В какой системе счисления подсчитаны деревья?

Варианты ответа: а) 7; б) 9; в) 11; г) 13.

Т 1.22. Было 53 _q груши. После того, как каждую из них разрезали пополам, стало 136 половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?

Варианты ответа: а) 11; б) 13; в) 15; г) 17.

Т 1.23. Какое число больше?

Варианты ответа: а) 152₇; б) 152₁₀; в) 152₁₂; г) 152₁₆.

Т 1.24. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:

а) 110000110101; 1010101 б) 11100001011001; 1000010101.

Т 1.25. Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления: а) 11011010001; 111111111000001 б) 10001111010; 100011111011.

Т 1.26. Переведите шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления: а) 1АС7 б) FACC.

Т 1.27. Переведите числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную: а) 774; б) 665.