Системы исчисления
Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия с числами.
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.
Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:
I V L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
П 1.11. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно 232.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются, например:
VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.
П 1.12. Записать римское число MCMXCVIII в десятичной системе
MCMXCVIII = 1000 + (- 100 + 1000) + (-10 +100) + 5 + 1 + 1+ 1 = 1998.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы.
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:
| Основание | Название | Алфавит |
| n = 2 | двоичная | 0 1 |
| n = 3 | троичная | 0 1 2 |
| n = 8 | восьмеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
| n = 16 | шестнадцатеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например: 1011012, 36718, 3В8F16.
В системе счисления с основанием q (q -ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, …, q – 1. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10. Развернутой формой записи числа называется запись в виде
Здесь Aq –само число, q – основание системы счисления, ai – цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов
дробной части числа.
Свернутой формой записи числа называется запись в виде
которой пользуются в повседневной жизни.
П 1.13. Записать в развернутом виде число А10 = 4718,63
А10 = 4*103 + 7*102 + 1*101 + 8*100 + 6*10-1 + 3*10-2.
П 1.14. Записать в развернутом виде число А8 = 7764,1
А8 = 7*83 + 7*82 + 6*81 + 4*80 + 1*8-1.
П 1.15. Записать в развернутом виде число А16 = 3АF
А16 = 3*163 + 10*161 + 15*160.
П 1.16. Все числа 1123, 1011012, 15FC16, 101,112 перевести в десятичную систему
1123 = 1*32 + 1*31 + 2*30 = 9 + 3 + 2 = 1410,
1011012 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 32 + 8 + 4 + 1 = 4510,
15FC16 = 1*163 + 5*162 + 15*161 + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 562810,
101,112 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 4 + 1 + ½ + ¼ = 5 + 0,5 + 0, 25 = 5,7510.
П 1.17. У жителей села «Не десятичное» на ферме имеется 120 голов рогатого скота, из них 53 коровы и 34 быка. Какая система счисления используется сельчанами?
Решение: Самая большая цифра в рассматриваемых числах – это цифра 5. Значит, она входит в состав алфавита искомой системы счисления. Тогда основание системы счисления больше 5. Задачу можно решить методом подстановки оснований 6 и 7 или математически.
Примем за х основание искомой системы счисления. Тогда после перевода чисел, стоящих в правой и левой частях, в десятичную систему счисления получим следующее равенство: х 2 + 2 х = 5 х + 3 + 3 х + 4. После преобразований получим уравнение х 2 – 6 х – 7 = 0.
Ответ х = 7.
