тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:
Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
× = ï ïï ïcosj
Свойства скалярного произведения:
1) × = ï ï2;
2) × = 0, если ^ или = 0 или = 0.
3) × = × ;
4) ×( + 
) = × + × ;
5) (m )× = ×(m ) = m( × ); m=const
Если рассматривать векторы 
в декартовой прямоугольной системе координат, то
× = xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
;
Пример. Найти (5 + 3 )(2 - ), если 
10 × - 5 × + 6 × - 3 × = 10 
,
т.к. 
.
Пример. Найти угол между векторами и , если 
.
Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)
× = 6 + 8 – 6 = 8:
.
cosj = 
Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2 )×(5 - 6 ), если 
15 × - 18 × - 10 × + 12 × = 15 
+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример. Найти угол между векторами и , если 
.
Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)
× = 12 + 20 - 15 =17:
.
cosj = 
Пример. При каком m векторы 
и 
перпендикулярны.
= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)
.
Пример. Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если 
()() = 
= 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов.
Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:
1) 
, где j - угол между векторами и ,
2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.
Обозначается: 
или 
.
 |
j
Свойства векторного произведения векторов:
1) 
;
2) 
, если ïï или = 0 или = 0;
3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );
4) ´( + ) = ´ + ´ ;
5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами 
, то
´ = 
6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Пример. Найти векторное произведение векторов 
и
.
= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)
.
При использовании компьютерной версии “ Курса высшей математики ” можно запустить программу, которая может найти скалярное и векторное произведения двух векторов. Для запуска программы дважды щелкните на значке:
 |
В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмите Enter. После получения скалярного произведения нажмите Enter еще раз – будет получено векторное произведение.
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),
С(0, 1, 0).
(ед2).
Пример. Доказать, что векторы 
, 
и 
компланарны.
, т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
, если 
(ед2).
Смешанное произведение векторов.
Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .
Обозначается 
или (, , ).
Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Свойствасмешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2) 
3) 
4) 
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен
6)Если 
, 
, то
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем координаты векторов: 
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов: 
Объем пирамиды 
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн = 
(ед2)
Т.к. V = 
; 
(ед)
Уравнение поверхности в пространстве.
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
Общее уравнение плоскости.
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты вектора 
-вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
