Одну из величин считаем функцией других

.

Для рассматриваемой системы число независимых единиц измерения равно трем (например, для величин p, l, t, т.е. n=3). Применяя теорему, находят число критериев n-m=5-3=2. Так как размерности всех n физических величин известны, то, составив из них два (так как n-m=2) безразмерных комплекса, получают критерии подобия без написания функциональной зависимости. Получаем

.

Для определения неизвестных постоянных a₁,a₂,…,b₁,b₂,…, записывают и приравнивают друг другу размерности числителей и знаменателей безразмерных комплексов

Из данных равенств получают уравнения для определения постоянных: а₁=1; а₂=-1; а₃=2; b₁=1; b₂=-1; b₃=0.

Найденные значения постоянных подставляют в исходную формулу и получают

или

Полученные комплексы являются критериями подобия.

Порядок определения критериев подобия методом анализа размерностей сводится к следующему:

1. Составляют выражения для n-m безразмерных величин П. Для этого в каждое выражение для П одну из n-m величин вводят в числитель с показателем степени, равным единице, а все остальные (от первой до m -й) величины – в знаменатель с неизвестными пока показателями а_1, а_2, … и т.д. Величины, входящие в знаменатель, выбирают так, чтобы в их размерности по одному разу входили все основные единицы измерения. Величины, входящие в числитель, если n-m меньше числа основных единиц, не должны являться только основными.

2. Из выражений, составленных на основании равенств размерностей соответственных числителей и знаменателей П, определяют показатели степени а_{1 ,} а₂ и т.д.

3. Анализируют критерии и при необходимости для лучшего выявления их физического смысла перемножают или делят некоторые из критериев с охранением их общего числа, равного n-m; записывают один из критериев как функцию остальных m-n-1 критериев.

Метод анализа уравнений основывается на положении, что у подобных явлений описывающее их уравнения должны быть тождественно равны.

Дифференциальные уравнения движения, например, для механической системы, могут быть записаны в упрощенном варианте следующим образом:

Так как процессы в оригинале и модели подобны, то отношения всех характеризующих их величин должны выражаться с помощью масштабов подобия:

где k_m,l,t,c,p – масштабы подобия.

Введя выражения k_m, k_l,… в уравнение для модели и разделив все члены уравнения на k_p, P_м, получают

Тождественность полученных уравнений следует из равенства индикаторов подобия единице:

Из совместного рассмотрения выражений находят

Найденные критерии получаются из дифференциальных уравнений делением всех членов уравнений на один из них, что является следствием приведения уравнений к безразмерному виду при последующем пренебрежении знаками дифференцирования и интегрирования.

Рассмотрим исходное уравнение и разделим все члены уравнения на Р:

Опускаем знаки дифференцирования, производим сокращения и записываем критериальное уравнение

Изложенное является основанием для формулирования общего правила нахождения критериев, которое называют правилом интегральных аналогов:

1) уравнение приводят к безразмерному виду делением всех его членов на какой-либо один из них;

2) опускают знаки дифференцирования и интегрирования;

3) полученные безразмерные комплексы, составленные из переменных величин и параметров, считают критериями подобия;

4) для лучшего выявления физического смысла критериев делят и умножают один из них;

5) записывают один из критериев как функцию n-m-1 получая критериальное уравнение.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1) Первая теорема подобия;

2) Вторая теорема подобия;

3) Третья или обратная теорема подобия;

4) Коэффициенты подобия; индикаторы подобия; критерии подобия;

5) Методы определения критериев подобия;

6) Критериальное уравнение.