Обобщенный закон Гука завершает вывод основных уравнений линейной теории упругости. Теперь мы имеем возможность рассмотреть все эти уравнения с точки зрения постановки и решения соответствующей краевой задачи о деформировании твердого тела.
1.6.1. Сводка основных уравнений теории упругости. Классификация граничных задач. Выпишем еще раз основные уравнения, полученные при исследовании статической, геометрической и физической сторон процесса деформирования упругого тела.
Статические уравнения:
уравнения локального равновесия (уравнения Навье см.(1.11)) —
(1.37)
статические граничные условия (1.9) —
(1.38)
Геометрические уравнения:
соотношения Коши (3.17)—
(1.39)
уравнения совместности деформаций (уравнения Сен-Венана (3.30))
(1.40)
Физические уравнения: обобщенный закон Гука (1.34)
(1.41)
или в обратной форме (1.37)
(1.42)
где, напомним,
В рамках линейной теории совокупность уравнений (1.37), (1.41) образует математическую модель упруго деформируемого тела.
Наша ближайшая цель — формулировка краевой задачи. В связи с этим напомним, что под краевой задачей понимается задача отыскания одной или нескольких функций, являющихся решением одного или нескольких дифференциальных (или иных) уравнений (обыкновенных или в частных производных) и удовлетворяющих краевым условиям — условиям на границе области.
В теории упругости (как и в других физических науках) дифференциальные уравнения краевой задачи часто называют разрешающими уравнениями, что объясняется тем, что они получаются в результате преобразования (разрешения) уравнений, составляющих математическую модель процесса деформирования упругого тела, к системе с меньшим числом уравнений. Система разрешающих уравнений краевой задачи выполняется внутри области. Поэтому вывод ее следует проводить с помощью уравнений, справедливых для внутренних точек тела. Таковыми являются (1.37) – (1.41) за исключением уравнений (1.38).
Для деформируемых тел можно ставить два типа краевых (граничных) условий: статические и геометрические. Первые формулируются для напряжений и ими, по существу, являются уравнения (1.38). Что касается геометрических граничных условий, то постановка их сводится к заданию компонент смещения на всей границе тела или же на ее части в зависимости от связей, накладываемых на тело в процессе деформирования.
Пусть 
— часть поверхности тела, на которой заданы смещения. Тогда геометрические граничные условия имеют вид
(1.43)
где 
— заданная векторная функция, а 
— радиус-вектор точек поверхности .
По типу краевых условий, но независимо от вида разрешающих уравнений, в теории упругости различают три граничные задачи.
Первая основная граничная задача формулируется так: по заданным внешним силам найти напряженно-деформированное состояние в теле, если на всей его границе ставятся только статические граничные условия.
Во второй граничной задаче на всей границе тела формулируются только геометрические граничные условия.
В случае третьей основной граничной задачи на поверхности тела задаются граничные условия обоих типов. По этой причине ее часто называют смешанной граничной задачей теории упругости.
Вид разрешающих уравнений зависит от того, какие величины выбраны за основные неизвестные. В связи с этим в теории упругости утвердились три метода решения задач: метод перемещений, метод напряжений и смешанный метод. В первом методе за неизвестные принимаются компоненты перемещения во втором — напряжения. В смешанном методе — как статические, так и геометрические величины.
Остановимся подробно на первых двух методах.
1.6.2. Метод перемещений. Примем за основные неизвестные, описывающие процесс деформирования упругого тела, компоненты перемещения 
, 
, 
. При выводе системы разрешающих уравнений необходимо позаботиться о том, чтобы удовлетворялись все уравнения линейной теории упругости (1.37)-(1.41).
Предположим, что мы получили систему разрешающих уравнений, и нашли ее решение — функции 
, 
, 
. Для вычисления деформаций надо воспользоваться соотношениями Коши. Как отмечалось, при этом уравнения совместности деформаций выполняются сами по себе. Следовательно, разрешающие уравнения метода перемещений должны вытекать из уравнений (1.37), (1.39) и (1.42). Чтобы получить их, необходимо, прежде всего, выразить напряжения и деформации через перемещения.
(1.44)
где
(1.45)
— дифференциальный оператор Лапласа.
Уравнения (1.44) называются уравнениями Ламе и образуют искомую систему разрешающих уравнений метода перемещений. Они синтезируют в себе статическую, геометрическую и физическую стороны процесса деформирования. Действительно, по своему существу — это уравнения равновесия в перемещениях. Наличие в них упругих постоянных 
и 
свидетельствует об их связи с физическими свойствами упругого тела.
Уравнения Ламе совместно с заданными геометрическими граничными условиями (1.43) и статическими условиями на поверхности (1.38), которые, предварительно, следует представить в перемещениях путем подстановки в них уравнений (1.6), образуют краевую задачу метода перемещений. По найденным в результате ее решения перемещениям напряженно-деформированное состояние тела определяется формулами (1.39) и (1.42).
1.6.3. Метод напряжений. Примем теперь за основные неизвестные напряжения 
, 
, 
, 
, 
, 
. Эти шесть величин должны удовлетворять, прежде всего, уравнениям равновесия (1.37). Выше уже отмечалось, что общая задача теории упругости статически неопределима. Это означает, что уравнений равновесия и статических граничных условий недостаточно (даже в случае первой основной задачи) для однозначного определения напряженного состояния в теле.
Обобщенный закон Гука устанавливает однозначную линейную зависимость между напряжениями и деформациями. Но последние должны удовлетворять условиям совместности деформаций. Следовательно, и напряжения должны быть связаны между собой некоторыми соотношениями, гарантирующими выполнение условий (1.40).
Для установления зависимостей между напряжениями достаточно подставить (1.41) в (1.40) и преобразовать последние с учетом уравнений равновесия (1.37).
В результате получим
(1.46)
Здесь, напомним, 
Уравнения (1.46) и (1.37) образуют систему разрешающих уравнений метода напряжений. Уравнения (1.46) принято называть тождествами (уравнениями) Бельтрами-Мичелла. Они синтезируют в себе все три стороны процесса деформирования, ибо являются условиями сплошности в напряжениях и получены с учетом уравнений равновесия и обобщенного закона Гука.
