Приведение определителя к треугольному виду

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю

Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1

.Нулевой матрицей называется матрица порядка m´n, все элементы которой равны 0

Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается, если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы

Матрица А называется симметричной, если А=А, и кососимметричной, если А = –А

Линейные операции над матрицами это сложение и умножение на число

Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0

Матрица строка

Матрица столбец

СВОЙСТВА МАТРИЦ:

Ассоциативность сложения:

Коммутативность сложения:

Ассоциативность умножения:

Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно:

. Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица существует.

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

Свойства обратной матрицы:

Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице

справа единичную матрицу второго порядка:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что

ВЕКТОРЫ

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если их направления совпадают: (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора и называются противоположно направленными, если их направления противоположны

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором

два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины

Сложение векторов и осуществляется по правилу треугольника.

Суммой двух векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают (рис. 1).

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2). Причем начало вектора совпадает с началом заданных векторов.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. - коммутативность

2. - ассоциативность

3.

4.

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие:

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1.

2.

3. , если , , если .

Свойства умножения вектора на число:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения:

1° - симметричность.

2° . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3° Если , то

4° Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5°

6°