В полупроводниках и металлах

 

Вопросы

1. Физический смысл энергии Ферми. Как по положению уровня Ферми определить тип проводимости полупроводника, степень его легирования и какой статистикой описывается поведение электронов?

2. Физический смысл понятий "плотность состояний в зоне" и "эффективная масса плотности состояний". Чем различаются продольная и поперечная эффективные массы?

3. Физический смысл уравнения электронейтральности. Записать уравнение электронейтральности для собственного полупроводника, полупроводника с одним примесным уровнем, с двумя примесными уровнями и т.д.

4. Схематически изобразить температурную зависимость положения уровня Ферми в полупроводнике с примесью одного типа и пояснить физический смысл каждого участка графика. Показать вид температурной зависимости концентрации свободных носителей заряда и пояснить способ определения энергии ионизации и концентрации примеси.

5. Как изменится вид температурной зависимости концентрации носителей заряда при наличии в полупроводнике нескольких примесных уровней? Как нужно легировать полупроводник, чтобы на его основе изготовить широкозонный датчик температуры?

 

Задачи

5.1. Определить температуру, при которой вероятность нахождения электрона с энергией E = 0,5 эВ выше уровня Ферми в металле равна 1 %.

Решение

Вероятность f (Е) того, что электрон занимает энергетический уровень Е, расположенный выше или ниже уровня Ферми E_F, подчиняется статистике Ферми-Дирака и определяется выражением

 

. (5.1)

 

Считая f (Е) = 0,01, получим

 

или

;

 

;

 

Т = 1262 К.

 

5.2. Определить, как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,1 эВ выше уровня Ферми, если температуру металла повысить от 300 до 1000 К.

5.3. Вычислить вероятность заполнения электронами энергетического уровня, расположенного на 10 kT выше уровня Ферми. Как изменится вероятность заполнения этого уровня электронами, если температуру увеличить в два раза?

5.4. Вычислить для кремния и германия величины эффективных масс плотностей состояний для электронов в зоне проводимости и для дырок в валентной зоне.

Методические указания

Расчет эффективных масс плотности состояний можно найти в [5].

5.5. Найти положение уровня Ферми в собственном германии при 300 К, если известно, что ширина его запрещенной зоны Е_g = 0,665 эВ, а эффективные массы плотности состояний для дырок валентной зоны и для электронов зоны проводимости соответственно равны: m_u = 0,388 m ₀; m_с = 0,55 m ₀, где m ₀ – масса свободного электрона.

Решение

Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется выражением

 

, (5.2)

 

где Е_i – уровень, соответствующий середине запрещенной зоны;

 

; – (5.3)

 

– эффективная плотность состояний для дырок валентной зоны и для электронов зоны проводимости соответственно. В данном случае

 

.

 

Таким образом,

 

или

 

,

 

т.е. уровень Ферми в собственном германии при комнатной температуре расположен на 6,78 мэВ ниже середины запрещенной зоны, но на 326 мэВ выше потолка валентной зоны. Результаты расчета показывают, что с ростом температуры уровень Ферми приближается к той зоне, которая имеет меньшую плотность состояний и поэтому заполняется быстрее.

5.6. Определить, насколько различаются вероятности заполнения электронами нижнего уровня зоны проводимости в собственном германии и собственном кремнии: а) при 300 К; б) при 100 К.

5.7. В собственном германии ширина запрещенной зоны при температуре 300 К равна 0,665 эВ. Насколько надо повысить температуру, чтобы число электронов в зоне проводимости увеличить в два раза? Температурным изменением эффективной плотности состояний для электронов и дырок пренебречь.

5.8. Определить положение уровня Ферми при T = 300 К в кристаллах германия, легированных мышьяком до концентрации 10²³ м^–3.

5.9. Концентрация электронов проводимости в полупроводнике 10¹⁸ м^–3. Определить концентрацию дырок в этом полупроводнике, если известно, что собственная концентрация носителей заряда при этой же температуре равна 10¹⁶ м^–3.

5.10. Вычислить собственную концентрацию носителей заряда в кремнии при T = 300 К, если ширина его запрещенной зоны Е_g = 1,12 эВ, а эффективные массы плотности состояний m_с = 1,05 m ₀, m_u = 0,56 m ₀.

Решение

Собственная концентрация носителей заряда

 

. (5.4)

 

Эффективная плотность состояний (м^–3) для электронов в зоне проводимости (см. решение задачи 5.5)

Эффективная плотность состояний (м^–3) для дырок в валентной зоне

 

 

.

 

Отсюда следует, что при Т = 300 К собственная концентрация

 

.

 

5.11. Определить положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости в кремнии n -типа при 300 К, если на 10⁶ атомов кремния приходится один атом примеси. Концентрация атомов равна 4,4×10²⁸ м^–3. Считать, что все примесные атомы ионизированы m_с = m ₀.

Решение

Концентрация примеси

 

.

 

Все примесные атомы ионизированы, поэтому концентрация электронов п = N_пр = 4,4×10²² м^–3.

 

; (5.5)

 

 

.

 

;

 

;

 

постоянную Больцмана удобно выразить в электронвольтах: k = 8,62×10^–5 эВ/К.

 

;

 

E_F = Е_с – 0,164 эВ.

 

Уровень Ферми находится на 0,16 эВ ниже зоны проводимости.

5.12. Вычислить отношение концентраций электронов в двух экстремумах зоны проводимости, если экстремумы отделены от уровня Ферми энергетическими зазорами Е ₁ = 0,2 эВ и Е ₂ = 0,3 эВ.

5.13. Вычислить и построить зависимость положения уровня Ферми от температуры (при 100, 200, 400 и 600 К) относительно зоны проводимости в арсениде галлия (m_с = 0,07 m ₀), если концентрация донорной примеси N_D = 10¹⁵ см^–3.

5.14. Дан чистый полупроводник, у которого концентрация электронов проводимости при 300 К равна 1,5×10¹⁰ см^–3. Вычислить ширину запрещенной зоны и энергию уровня Ферми для этого полупроводника (m_с = 0,8 m ₀, m_u = 0,2 m ₀).

5.15. Вычислить значения концентрации носителей тока в кристалле при 100 и 300 К, если эффективная масса электрона m_с = 0,6 m ₀, а дырки m_u = 0,4 m ₀ и ширина запрещенной зоны E_g (T) = 0,78 эВ – (5×10^–4 T) эВ, где Т – температура в Кельвинах.

5.16. Вычислить положение уровня Ферми при 300 К в кристаллах германия, содержащих 2×10²² м^–3 атомов мышьяка и 10²² м^–3 атомов галлия.

Решение

Так как N_D > N_A, то такой частично компенсированный полупроводник проявляет электропроводность п -типа. При этом избыточная концентрация доноров = N_D – N_A. При комнатной температуре все примеси ионизированы, поэтому п» . Из выражения находим положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости:

 

.

 

5.17. Вычислить, во сколько раз различаются при комнатной температуре равновесные концентрации дырок в кристаллах кремния и арсенида галлия, имеющих одинаковую концентрацию донорных примесей N_D = 10²¹ м^–3 (в кремнии m_с = 1,05 m ₀, m_u = 0,56 m ₀; в арсениде галлия m_с = 0,067 m ₀, m_u = 0,68 m ₀).

5.18. Кристалл арсенида индия легирован серой так, что избыточная концентрация доноров N_D – N_A = 10²² м^–3. Можно ли считать, что при температуре Т = 300 °С электрические параметры этого полупроводника близки параметрам собственного арсенида индия, если эффективные массы плотности состояний электронов m_с = 0,023 m ₀, для дырок m_u = 0,43 m ₀, а ширина запрещенной зоны (в электронвольтах) InAs изменяется с температурой по закону 0,462 – (3,5×10^–4) Т?

Решение

Ширина запрещенной зоны E_g арсенида индия при температуре Т =573 К равна 0,26 эВ. Собственная конценрация носителей заряда при этой температуре

 

 

 

.

 

Отсюда следует, что при Т =573 К собственная концентрация носителей заряда п_i >> N_D – N_A, т.е. полупроводник по свойствам близок к собственному.

5.19. Определить концентрацию электронов и дырок при 300 К в образце германия, который имеет концентрацию донорных примесей N_D = 2×10²⁰ м^–3 и концентрацию акцепторных примесей N_А = 3×10²⁰ м^–3.

5.20. Определить энергию ионизации доноров в кремнии n -типа, если концентрация электронов n ₁ = 10²⁰ м^–3 при температуре T ₁ = 50 К и n ₂ = 10¹⁸ м^–3 при T ₂ = 28 К.

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Таблица П.1

 

Некоторые физические постоянные

 

Электрическая постоянная	e 0 = 8,854×10–12 Ф/м
Магнитная постоянная	m 0 = 4 p ×10–7 Гн/м
Масса покоя электрона	m 0 = 9,109×10–31 кг
Заряд электрона	e = 1,602×10–19 Кл
Скорость света	с = 2,998×108 м/с
Число Авогадро	N 0 = 6,022×1026 кмоль–1 = = 6,022×1023 моль–1
Постоянная Планка	h = 6,62×10–34 Дж×с = = 4,14×10–15 эВ×с
Постоянная Больцмана	k = 1,38×10–23 Дж/К = = 8,62×10–5 эВ/К
Магнетон Бора	m B = 9,274×10–24 Дж/Тл = = 9,274×10–24 А×м2
Радиус Бора	a 0 = 0,5292×10–10 м
Постоянная Фарадея	F = 9,648×10–4 Кл×моль–1
Универсальная газовая постоянная	R = 8,314 Дж×моль–1×К–1
1 эВ = 1,602×10–19 Дж
1 Д = 3,34×10–30 Кл×м

Таблица П.2

 

Значения функции erfc z

 

z	erfc z	z	erfc z	z	erfc z
0,0	1,00000	1,4	0,04771	2,8	7,50×10–5
0,1	0,88754	1,5	0,03389	2,9	4,11×10–5
0,2	0,77730	1,6	0,02365	3,0	2,21×10–5
0,3	0,67135	1,7	0,01621	3,1	1,16×10–5
0,4	0,57161	1,8	0,01091	3,2	6,02×10–6
0,5	0,47950	1,9	0,00721	3,3	3,05×10–6
0,6	0,39614	2,0	4,678×10–3	3,4	1,52×10–6
0,7	0,32220	2,1	2,971×10–3	3,5	7,43×10–7
0,8	0,25790	2,2	1,863×10–3	3,6	3,55×10–7
0,9	0,20309	2,3	1,143×10–3	3,7	1,67×10–7
1,0	0,15730	2,4	6,89×10–4	3,8	7,68×10–8
1,1	0,11979	2,5	4,07×10–4	3,9	3,48×10–8
1,2	0,08969	2,6	2,36×10–4	4,0	1,54×10–8
1,3	0,06599	2,7	1,343×10–4	4,1	6,70×10–9

 

ОТВЕТЫ

 

1.1	0,0025 нм
1.5	1, 2, 4, 8
1.7
1.8	(15 5 3)
1.9	–6; 2; 3
1.19	0,36 нм; 0,128 нм
1.20	ГЦК; 0,627 нм
1.21	q = 61,6°
1.22	а) 38,5; 44,8; 65,2; 78,4; 81,6°; б) 42; 61; 77; 91,6; 107°
2.1	При 100 К Ge: n = 3,5×1018 м–3 Si: n = 1,3×1017 м–3
2.2	108
2.3	1032
2.5	1,98 эВ
2.6	6 эВ, 107 см2/с
2.7	3,8 эВ; D 0 = 8 см2/с; D 1420 =7×10–10 см2/с
2.8	В в Si; D = 2×10–11 см2/с
2.9	D = 6×10–13 см2/с; 3,4 мкм
2.10	D = 4×10–9 см2/с
2.11	3,7×10–3 см
3.1	Si – 6600 м/с; Ge – 3830 м/с; SiО2 – 4650 м/с
3.2	Оптические: wmin ~ 2,9×1013 рад/с wmax ~ 4×1013 рад/с акустические: wmax ~ 2,83×1013 рад/с
3.3	Оптические: wmin ~ 3,7×1013 рад/с wmax ~ 4×1013 рад/с акустические: wmax ~ 2,×1013 рад/с
3.4	а) 3,2×10–2 эВ; б) 1,8×10–2 эВ
3.5	а) 2,3×10–2 эВ; б) 1,3×10–2 эВ
3.7	2,99×10–21 Дж
3.8	3,45×10–21 Дж
3.9	4 нм
3.10	1,25 нН
3.11	1 %
3.12	724 кГ/мм2
5.1	1262 К
5.2	Увеличится в 11,4 раза
5.3	4,54×10–5; 6,74×10–3
5.4	Si: тп = 1,08 т 0; тр = 0,56 т 0; Ge: тп = 0,56 т 0; тр = 0,35 т 0
5.6	6,57×103; 2,85×1011
5.7	17 К

 

5.8	Ес – 0,12 эВ
5.9	1014 м–3
5.12
5.14	Еg = 1,03 эВ
5.15	6,6×105 м–3; 4,9×1019 м–3
5.17	16,5×106
5.19	1020 м–3; 4,4×1018 м–3
5.20	0,046 эВ

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Антипов Б.Л. Материалы электронной техники. Задачи и вопросы: Учеб. пособие для вузов по специальностям электронной техники / Б.Л. Антипов, В.С. Сорокин, В.А. Терехов / Под ред. В.А. Терехова. – СПб.: Лань, 2003.

2. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. М.: Мир, 1988.

3. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. – М.: Наука, 1990.

4. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. – М.: Высшая школа, 2002.

5. Шалимова К.В. Физика полупроводников. – М.: Высшая школа, 1985.

6. Фистуль В.И. Введение в физику полупроводников. – М.: Высшая школа, 1984.

7. Широкозонные полупроводники / Под ред. Ю.Г. Шретер. – СПб.: Наука, 2001.