Дефекты и диффузия в твердых телах

ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ, СТРУКТУРА И СИММЕТРИЯ

КРИСТАЛЛОВ. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ

 

Вопросы

1. Перечислить основные типы межатомных связей. Показать, какие типы связей являются дальнодействующими, а какие – близкодействующими. Как это влияет на строение кристаллов?

2. Как влияет тип межатомных связей на физические свойства кристалла (электрические, оптические и др.)? Почему ковалентные кристаллы неплотно упакованы, а ионные имеют бóльшую плотность упаковки?

3. Какова природа упругости, пластичности и твердости кристаллов с точки зрения их межатомных связей?

4. Чем определяется длина волны рентгеновского, электронного и нейтронного излучения? Как различаются по разрешающей способности эти виды излучений?

5. Дать определение обратной решетки. Физический смысл узлов и плоскостей в обратной решетке.

6. Доказать, что пространственной решеткой, обратной ГЦК, будет ОЦК, и наоборот.

7. Перечислить основные экспериментальные дифракционные методы определения структуры кристаллов и охарактеризовать особенности каждого из них.

 

Задачи

1.1. Известно, что в кристалле, в котором связи обусловлены силами Ван-дер-Ваальса, равновесное межатомное расстояние r ₀ = 0,15 нм, а энергия на 10 % меньше, чем в случае, когда учитываются только силы притяжения. Чему равна характерная длина r, входящая в выражение для энергии

 

? (1.1)

 

1.2. В молекуле фтористого калия равновесное межядерное расстояние r ₀ равно 0,267 нм, а энергия связи Е относительно энергии бесконечно удаленных ионов на 0,50 эВ на молекулу меньше энергии кулоновского притяжения, что обусловлено отталкиванием при перекрытии электронных оболочек. Известно, что сродство к электрону у фтора равно 4,07 эВ на электрон, а первый потенциал ионизации калия составляет 4,34 В. Покажите, что энергия, необходимая для разделения молекулы на два нейтральных атома, равна 0,945 E.

1.3. На примере кристалла хлористого натрия объяснить физический смысл постоянной Маделунга A _l, входящей в выражение для энергии решетки E:

 

, (1.2)

 

где e – заряд электрона, а в качестве l может быть выбрано либо наименьшее расстояние r ₀ между катионом и анионом, тогда A_r = 1,7476, либо длина ребра куба a, тогда A_a = 3,4951. Объяснить отличие A_r от A_a.

Методические указания

Нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки хлористого натрия. Записать энергию взаимодействия центрального иона с ионами первой, второй, третьей и т.д. координационных сфер, для чего определить радиусы этих сфер, выразив их значения через период решетки а (и через кратчайшее межатомное расстояние r ₀), и определить соответствующие координационные числа. Записать знакопеременный ряд из слагаемых, числителем которых является координационное число, а знаменателем – относительные значения радиусов координационных сфер. Этот знакопеременный ряд сходится, и сумма его равна постоянной Маделунга.

1.4. Решить предыдущую задачу на примере кристалла хлористого цезия, для которого A_r = 1,7627; A_a = 2,035.

1.5. Определить, сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку в кристаллах с простой, ОЦК, ГЦК и алмазной решеткой.

1.6. В кубической кристаллической решетке построить плоскости с индексами Миллера (121) и ().

1.7. Определить расстояние между ближайшими параллельными плоскостями {111} в кубической кристаллической решетке с периодом элементарной ячейки а.

1.8. Определить индексы плоскости, отсекающей на осях кубической решетки отрезки: A = 1 a; B = 3 a; C = 5 a, где а – период решетки.

1.9. Определить наименьшие отрезки, отсекаемые на осях кубической решетки плоскостью (), и изобразить эту плоскость графически.

1.10. Вычислить, сколько атомов располагается на 1 мм² плоскостей (100) и (111) в кристаллической решетке кремния, если межатомное расстояние l = 0,2352 нм.

Решение

Кремний кристаллизуется в решетке алмаза, где межатомное расстояние l равно 1/4 большой диагонали куба. Поэтому период решетки а = = 4×0,2352× = = 5,43×10^–10 м. Из рис. 1.1 следует, что на плоскости (100) элементарной ячейки находится два атома кремния (поскольку каждый угловой атом одновременно принадлежит четырем соседним ячейкам): п = 4×1/4 + 1 = 2. Отсюда поверхностная плотность атомов

 

N_S = n / S = n / a ² = 2/(5,43×10^–10)² = 6,78×10¹⁸ м^–2 = 6,78×10¹² мм^–2.

 

На рис. 1.2 показано расположение атомов на плоскости

(111). Равностороннему треугольнику площадью принадлежит в среднем два атома: п = 3 ´ ´ 1/6 + 3×1/2 = 2. Поверхностная плотность атомов в этой плоскости

 

 

= 7,84×10¹⁸ м^–2 = 7,84×10¹² мм^–2.

 

1.11. Из узла алмазной решетки: а) записать оси на все атомы элементарной ячейки; б) записать соответствующие этим осям плоскости; в) нарисовать плоскости (222), (200) и (221).

1.12. Какие плоскости имеют максимальную плотность упаковки атомов в кристаллах: а) хлористого натрия; б) алмаза?

1.13. У каких плоскостей в структуре ГЦК максимальная плотность упаковки атомов? В каких направлениях в этих плоскостях линейная плотность расположения атомов максимальна?

1.14. Решить предыдущую задачу для структуры ОЦК.

1.15. Рассчитать плотность упаковки для решеток: а) алмаза; б) кубической примитивной; в) кубической объемноцентрированной; г) кубической гранецентрированной.

Методические указания

Плотность упаковки F – относительная доля объема кристаллической решетки, заполненного атомами. В расчете на элементарную ячейку с ребром а

 

, (1.3)

 

где Z – количество атомов, приходящихся на элементарную ячейку; V_ат – объем одного атома,; V_яч – объем элементарной ячейки, V_яч = а ³;

, (1.4)

 

где r – атомный радиус;

 

, (1.5)

 

где N_i – число атомов внутри ячейки; N_f – число атомов на ее гранях; N_е – число атомов на ребрах; N_c – число атомов в вершинах ячейки.

Тогда для решетки алмаза Z = 8, a = 8 r, F = 0,34;

для кубической примитивной Z = 1, a = 2 r, F = 0,524;

для ОЦК Z = 2, a = 4 r, F = 0,68;

для ГЦК Z = 4, a = 4 r, F = 0,74.

1.16. Показать, что в кристаллах могут быть оси вращения только 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков.

Решение

Рассмотрим модель двумерного «кристалла», имеющего в горизонтальном направлении постоянную решетки а. Тогда в ряду А расстояние между 1-м и т -м атомами равно (т – 1) а. Теперь допустим, что симметрией данной решетки разрешен поворот на угол a. При вращении вокруг атома 2 в направлении против часовой стрелки атом 1 переместится в положение, занятое прежде атомом 1¢. Аналогично при вращении по часовой стрелке вокруг (т – 1)-го атома атом т переместится в положение, занятое ранее атомом т ¢. Очевидно, что атомы 1¢ и т ¢ принадлежат к ряду В, так что расстояние Х между ними должно быть кратно а, если поворот на угол a разрешен симметрией решетки. Предположим, что Х = ра, где р – неизвестное целое число. Разность двух неизвестных целых чисел т и р можно выразить через a. Из рис. 1.3 с помощью очень простой тригонометрии получаем

 

Х = ра = (т – 3) а + 2 а соs a, (1.6)

откуда

соs a = (3 + р – т)/2. (1.7)

 

При условии, что т и р целые числа, уравнение (1.7) имеет всего пять решений, которые представлены в табл. 1.1.

 

 

Рис. 1.3. Двумерная модель, показывающая,

какие углы вращения совместимы также

с трансляционной симметрией кристалла

 

Таблица 1.1

Решения уравнения (1.7) для вращений, разрешенных

в периодической решетке

 

р – т	соs a	a	Порядок оси вращения
–1			1-й
–2	1/2	p /3	6-й
–3		p /2	4-й
–4	–1/2	2 p /3	3-й
–5	–1	p	2-й

1.17. Построить примитивные ячейки для непримитивных ячеек стандартных решеток Браве.

1.18. Вычислить период кристаллической решетки меди, если ее плотность равна 8920 кг/м³, а элементарная ячейка представляет собой гранецентрированный куб. Определить объем, приходящийся на один атом.

Решение

Рентгеновская плотность кристалла связана с периодом кубической решетки соотношением d = Кт / а ³, где т – масса атома; К – число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку (кратность ячейки). В случае гранецентрированного куба К = 4. Учитывая, что т = А / N_А, где А – атомная масса; N_А – число Авогадро, получаем

 

.

 

На один атом решетки приходится объем

 

.

 

1.19. На дебаеграмме первая линия (от 0°), полученная отражением от системы плоскостей (111) в кристалле меди, соответствует углу дифракции 2Q = 43°, где Q – угол Брегга. Чему равен период решетки меди, если длина волны рентгеновских лучей 0,154 нм? Чему равен атомный радиус меди?

1.20. На дебаеграмме некоторого кубического кристалла, снятой на излучении меди К_a (l = 0,1542 нм), видны линии под углами Брегга Q: 12,3; 14,1; 20,2; 24,0; 25,1; 29,3; 32,2 и 33,1°. Проиндицировать эти линии. Определить, является ли эти решетка примитивной, ГЦК, ОЦК и вычислить длину ребра ячейки.

 

Методические указания

Отличие в дебаеграммах простой кубической, ОЦК и ГЦК решеток связано с отсутствием некоторых рефлексов при отражении от сложных решеток (ОЦК, ГЦК) (учет структурного фактора [4]).

По формуле Вульфа-Брегга отражения от системы плоскостей (hkl) происходят под определенными углами

 

, (1.8)

 

где d_hkl – межплоскостное расстояние; Q – угол отражения (угол Брегга); l – длина волны характеристического рентгеновского излучения; n – порядок спектра (п = 1, 2, 3, …).

 

, (1.9)

 

где а – период решетки.

При расчете возможных рефлексов по уравнению (1.8) принимают порядок спектра п = 1, а значения индексов Миллера h, k, l – 0, 1, 2, 3 и т.д. Для п = 2, 3 и более выводы не изменятся, так как

 

;

(1.10)

 

,

 

(например, d ₁₁₁/2 = d ₂₂₂, d ₁₁₁/3 = d ₃₃₃), т.е. при отражении в спектрах п = 2, 3, … порядков возникает рефлекс, соответствующий отражению от плоскостей (nh nk nl).

На дебаеграмме простой кубической решетки присутствуют отражения от всех плоскостей (hkl). Для ОЦК решетки все отражения hkl с нечетной суммой индексов гаснут; для ГЦК решетки гаснут все отражения hkl с индексами разной четности (нуль считается четным).

При постоянных значениях а и l из формул (1.8) и (1.9) видно

 

; (1.11)

 

.

 

Для простой кубической решетки первый угол Q будет соответствовать рефлексу (100) – (h ² + k ² + l ²) = 1, второй – (110) – (h ² + k ² + l ²) =2, третий – (111) – (h ² + k ² + l ²) =3 и т.д. (Индексы hkl -рефлексов – это произведение hkl на порядок спектра, поэтому рефлекс 100 для ОЦК решетки для порядка 2 будет равен 200 и разрешен.)

Для ОЦК решетки будут рефлексы с четной суммой (h + k + l), первый угол Q будет соответствовать рефлексу (110) – (h ² + k ² + l ²) = 2, второй угол – (200) – (h ² + k ² + l ²) = 4, третий – (211) – (h ² + k ² + l ²) = 6 и т.д.

Для ГЦК решетки будут индексы одной четности; первый угол соответствует рефлексу (111) – (h ² + k ² + l ²) =3, второй угол – (200) – (h ² + k ² + l ²) =4, третий угол – (220) – (h ² + k ² + l ²) = 8 и т.д.

Поэтому для решения задачи следует посчитать sin²Q и проверить их отношения для нескольких углов: sin²Q ~ 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, 20. Это соответствует рефлексам (111), (200), (220), (311), (222), (400), (331), (420).

1.21. Определить угол, под которым пучок рентгеновских лучей с длиной волны 0,11 нм отражается в максимальном порядке дифракции от системы кристаллических плоскостей, расстояние между которыми 0,25 нм.

1.22. Вычислить углы дифракции (j = 2Q, где Q – угол Брегга), соответствующие первым пяти линиям снятым на К_a- линии меди (l = 0,1542 нм) дебаеграмм:

а) алюминия с постоянной решетки а = 0,404 нм (ГЦК решетка);

б) ванадия с а = 0,303 нм (ОЦК решетка).

 

ДЕФЕКТЫ И ДИФФУЗИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

 

Вопросы

 

1. Описать эксперименты, позволяющие определить равновесную концентрацию точечных собственных дефектов при определенной температуре и диффузионные параметры точечных дефектов. Почему энергия активации самодиффузии всегда больше энергии активации диффузии примеси?

2. Дать определения вектора Бюргерса, линии дислокации, плоскости скольжения. В чем особенности краевой, винтовой и 60°-ной дислокаций?

3. Образование или исчезновение вакансий в твердом теле вызывает изменение его плотности. Образец быстро охлажден от температуры, близкой к температуре плавления, и все вакансии, имевшиеся при высокой температуре, сохранились при комнатной температуре. Затем вакансии "отжигаются" с течением времени, в итоге достигая концентрации, равновесной при комнатной температуре. Будет ли повышаться или уменьшаться плотность такого образца в процессе отжига?

4. Как влияют точечные дефекты на электрические, оптические и другие свойства кристаллов?

5. Чем определяется механизм диффузии примеси в кристалле? При каких условиях примесь будет диффундировать из кристалла в окружающую среду (редиффузия)? Как из таких экспериментов определить диффузионные параметры примеси в данном веществе?

6. Что является движущей силой диффузии атомов? Как влияют на диффузию электрическое поле, градиент температуры, градиент деформации и другие внешние поля?

7. В результате диффузии получен p - n -переход на глубине x. Как надо изменить время диффузии, чтобы получить p - n -переход на глубине 2 x?

8. Предположим, что алюминиевый образец охлажден от температуры, близкой к температуре плавления, и все вакансии, имеющиеся при высокой температуре, сохранились при комнатной. Допустим, что вакансии «отжигаются» с течением времени, в итоге достигая концентрации, равновесной при комнатной температуре. Если отжиг происходит адиабатически, будет нагреваться или охлаждаться твердое тело? Если будет, то насколько?

 

Задачи

2.1. Посчитать равновесную концентрацию вакансий при T = 300, 800 и 1000 К в кремнии и германии, если энергии их образования равны 2,3 и 2 эВ соответственно. Сравнить полученные величины с концентрацией дефектов по Френкелю, если энергия их образования в германии 3,6 эВ, в кремнии – 4,2 эВ.

2.2. Для образования вакансий в алюминии требуется энергия 0,75 эВ. Во сколько раз количество вакансий при комнатной температуре в состоянии термодинамического равновесия меньше, чем при 500 °С.

2.3. Для образования дефекта внедрения в алюминии требуется энергия 3 эВ. Во сколько раз количество внедренных атомов при комнатной температуре в состоянии термодинамического равновесия меньше, чем при 550 °С?

2.4. Предположим, что для образования вакансии в определенном кристалле необходима энергия 2 эВ. Покажите, что, если при этом температура плавления не превышает 1000 К, то отношение плотности вакансий к плотности атомов всегда меньше, чем 10^‑8 %.

2.5. Рассчитать энергию активации диффузии цинка в меди по температурной зависимости коэффициента диффузии D (T):

 

T, К
D, м2/с	1×10–12	4×10–13	1,1×10–13	4×10–15	1,6×10–16

 

Методические указания

Экспериментальные зависимости удобно обрабатывать графически, используя при этом линейную аппроксимацию. Для этого требуется знание законов, которые связывают экспериментальные данные.

Коэффициент диффузии подчиняется уравнению Аррениуса

, (2.1)

 

где Q – энергия активации диффузии; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; D ₀ – частотный фактор.

Для получения линейной зависимости логарифмируем (2.1):

 

(2.2)

 

и записываем равенство (2.2) для двух температур

 

; (2.3)

 

, (2.4)

 

откуда

 

, (2.5)

 

где D(ln D) – изменение логарифма коэффициента диффузии; D(1/ Т) – изменение обратной температуры.

При графической обработке данных удобно пользоваться десятичными логарифмами и обратными температурами, увеличенными в 10³ раз. Тогда lg N = 0,4343ln N;

 

. (2.6)

 

Подставим k = 8,62×10^–5 эВ/К, тогда

 

.

 

По данным задачи строим зависимость lg D (10³/ Т) (рис. 2.1), определяем тангенс угла наклона, умножив его на 0,2, получаем значение Q в электронвольтах.

 

 

Рис. 2.1. Зависимость lg D (10³/ Т)

 

2.6. По температурной зависимости коэффициента самодиффузии кремния D (T) определить диффузионные параметры (энергию активации Q и частотный фактор D ₀):

 

T, °С
D, см2/с	1×10–15	2×10–14	2×10–12

 

2.7. Решить предыдущую задачу для диффузии алюминия в кремнии по следующей зависимости D (Т):

 

T, °С
D, см2/с	6×10–13	2×10–12	2×10–11	5×10–10

 

Вычислить D при T = 1420 °С.

2.8. При диффузии из ограниченного источника получено следующее распределение примеси по глубине кремниевой пластины N (x):

 

N, см–3	1020	1019	1018	1017
х, мкм

 

Определить коэффициент диффузии и диффундирующую примесь, если температура диффузии 1000 °С, время – 1000 с.

Методические указания

При диффузии из ограниченного источника (в полупроводниковой технологии это соответствует разгонке примеси) распределение концентрации N по глубине х описывается следующим распределением:

 

, (2.7)

 

где t – время диффузии; Q – доза легирования (количество атомов примеси на единицу площади поверхности); D – коэффициент диффузии.

Формулу (2.7) можно упростить, учитывая лишь распределение по глубине пластины:

 

, (2.8)

 

где N ₀ – концентрация на поверхности.

Линейную аппроксимацию можно получить, логарифмируя:

 

(2.9)

 

в координатах ln N (x ²) (рис. 2.2).

 

 

Рис. 2.2. Зависимость ln N (x ²)

 

Тангенс угла наклона будет равен tg a = 1/(4 Dt).

Задачу удобно решать, используя равенство lg N = 0,4343ln N. Тогда

 

, (2.10)

 

где D(lg N) – разность десятичных логарифмов концентрации; D(х ²) – разность квадратов толщин.

Тогда

. (2.11)

 

2.9. Решить предыдущую задачу для следующего диффузионного распределения N (x):

 

N, см–3	1021	1020	1018	1016
х, мкм

 

Время диффузии 3600 с, температура – 1200 °С. Определить глубину залегания p - n -перехода, если пластина легирована до 10¹⁵ см^–3.

2.10. При диффузии из неограниченного источника в течение t = 1000 с концентрация примеси на глубине х = 4 мкм составляет 0,888 N ₀, где N ₀ – концентрация примеси на поверхности. Определить коэффициент диффузии примеси.

Методические указания

Диффузия из неограниченного источника (в полупроводниковой технологии это соответствует загонке примеси) подчиняется следующему уравнению:

 

, (2.12)

 

где N ₀ и N – концентрации примеси на поверхности и на глубине х; t – время диффузии; D – коэффициент диффузии;

– функция ошибок (интеграл Гаусса);

– дополнение к функции ошибок; – табулированная функция, ее значения приведены в табл. П.2 Приложения.

По данным условия задачи можно определить значение

. По табл. П.2 находим z = 0,1,

т.е. .

Отсюда можно определить D.

2.11. Определить глубину залегания p - n -перехода после диффузии фосфора из неограниченного источника в кремниевую пластину с исходной концентрацией N _A = 10¹⁶ см^–3. Температура диффузии 1100 °С, коэффициент диффузии 10^–10 см²/с, концентрация фосфора на поверхности пластины 10²¹ см^–3, время диффузии 1 ч.

 

МЕХАНИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ

СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ

 

Вопросы

1. Дать определение упругой и пластической деформациям. Диаграмма напряжение-деформация.

2. Какова природа пластической деформации с точки зрения движения дислокаций? Чем отличается скольжение дислокаций от их переползания?

3. Как влияют точечные дефекты на механические свойства твердых тел? В чем секрет булатной стали?

4. Постоянные кристаллической решетки (см. Приложение) и массы атомов германия и кремния известны. Насколько различаются размеры первой зоны Бриллюэна Ge и Si и насколько различаются предельные частоты колебаний атомов в них (силу связи считать одинаковой)?

5. Почему у большинства полупроводников две моды поперечных оптических и две моды поперечных акустических колебаний обычно вырождены? Нарисуйте схематически колебательный спектр атомов трехмерной решетки в первой зоне Бриллюэна. Чем определяется минимальная и максимальная частоты колебаний?

6. Оценить фазовую и групповую скорости колебаний одноатомной решетки. Найти их максимальные и минимальные значения.

7. Физический смысл понятия "температура Дебая". Будет ли величина температуры Дебая зависеть от размеров кристалла? Почему теплоемкость всех веществ при высоких температурах описывается законом Дюлонга и Пти?

8. Определить относительную ошибку, которая будет допущена, если при вычислении теплоемкости вместо значения, вычисляемого по теории Эйнштейна (при T = Q _E), воспользоваться значением, определяемым законом Дюлонга и Пти.

9. Как тепловое расширение твердых тел (ангармонизм колебаний) зависит от характера энергии взаимодействия атомов в кристалле?

10. Показать, что если смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука: F (x) = – bx, то тепловое расширение отсутствует.

 

Задачи

3.1. Зная модуль упругости E и плотность r, рассчитать скорость звука:

а) в кремнии (r = 2330 кг/м³, E = 10,1×10¹⁰ Н/м²);

б) в германии (r = 5360 кг/м³, E = 7,9×10¹⁰ Н/м²);

в) в двуокиси кремния (r = 2650 кг/м³, E = 5,7×10¹⁰ Н/м²).

3.2. Определить минимальные и максимальные частоты оптических и акустических колебаний в арсениде галлия, считая, что скорость звука составляет 5×10³ м/с.

Методические указания

Рассматривая колебания атомов в арсениде галлия как колебания одномерной решетки с базисом [4], можно оценить частоты оптических w^оп и акустических w^ак колебаний:

– минимальная частота w^ак (соответствует значению волнового вектора k = 0) равна нулю;

– максимальная частота w^ак (соответствует k = p /2 а – границе зоны Бриллюэна, где 2 а – период решетки) , где b – коэффициент квазиупругой силы; М – масса более тяжелого атома;

– минимальная частота w^оп (соответствует k = p /2 а) , где m – масса более легкого атома;

– максимальная частота w^оп (соответствует k = 0) .

Масса Ga т =69,72 а.е.м.; масса As М = 74,92 а.е.м.; 1 а.е.м. (атомная единица массы) = 1,66×10^–27 кг.

Коэффициент b можно оценить из формулы для скорости звука:

, (3.1)

 

совпадающей со скоростью в акустической ветви колебаний при k, близких к нулю.

3.3. Решить предыдущую задачу для фосфида индия.

3.4. Используя значения скорости звука, полученные при решении задачи 3.1, определить максимальную энергию оптических фононов (в электронвольтах): а) в кремнии; б) в германии.

3.5. Используя значения скорости звука, полученные при решении задачи 3.1, оценить минимальную энергию оптических фононов (в электронвольтах): а) в кремнии; б) в германии.

3.6. Используя значения скорости звука, полученные при решении задачи 3.1, оценить максимальную энергию акустических фононов (в электронвольтах): а) в германии, б) в кремнии.

3.7. Определить среднюю энергию линейного одномерного квантового осциллятора при температуре T = Q_E (Q_E = 200 К), где Q_E – характеристическая температура Эйнштейна.

Методические указания

Среднее значение энергии квантового осциллятора, приходящееся на одну степень свободы в теории Эйнштейна

, (3.2)

 

где – нулевая энергия; – постоянная Планка; w – циклическая частота колебаний; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура.

Характеристическая температура Эйнштейна

 

. (3.3)

 

3.8. Найти энергию фонона, соответствующего граничной частоте Дебая (w_max), если характеристическая температура Дебая Q _D = 250 К.

3.9. Вычислить среднюю длину свободного пробега фононов в кварце (двуокиси кремния) при некоторой температуре, если при той же температуре: коэффициент теплопроводности l = 13 Вт/(м×К), киломольная теплоемкость c = 44 кДж/(кмоль×К) и усредненное значение скорости звука u = 5×10³ м/с. Плотность кварца r = 2,65×10³ кг/м³.

Методические указания

Коэффициент теплопроводности

 

, (3.4)

 

где с^v – теплоемкость единицы объема; u – скорость звука; L – средняя длина свободного пробега.

Теплоемкость единицы объема с^v можно выразить через киломольную теплоемкость с_к-м следующим образом.

Пусть с – теплоемкость, тогда ее можно выразить через с^v и с_к-м:

 

, (3.5)

 

где V – объем; т – масса; m – молярная масса; m/m – число киломолей.

Отсюда

. (3.6)

 

3.10. Вычислить максимальную силу, возвращающую атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гармоничности b = 50 Н/м, а коэффициент ангармоничности g = 500 ГН/м².

Методические указания

Сила f (х), возвращающая частицу в равновесное положение при ангармонических колебаниях, определяется через коэффициенты b и g:

 

. (3.7)

 

Условие экстремума дает возможность определить значение х, соответствующее максимальной силе, а затем и максимальную силу.

3.11. Определить, на сколько процентов изменится межатомное расстояние в твердом теле (при нагревании его до T = 400 К) по сравнению с равновесным расстоянием r ₀ = 3 А, отвечающим минимуму потенциальной энергии. При расчетах принять коэффициент ангармоничности g = b /(2 r ₀), где b – коэффициент гармоничности. Значение модуля Юнга Е = 10 ГН/м².

Методические указания

Линейный коэффициент теплового расширения

 

, (3.8)

 

где l – длина; dl / l – относительное изменение длины при изменении температуры на dT.

Коэффициент a может быть выражен через коэффициенты гармоничности b и ангармоничности g:

 

, (3.9)

 

где k – постоянная Больцмана; b = r ₀× Е, где Е – модуль Юнга; g» (1/2)×(b / r ₀), тогда

 

. (3.10)

 

Из (3.8) следует:

 

, (3.11)

 

где D Т = 400 К (нагревание от 0 до 400 К).

3.12. Определить микротвердость арсенида галлия, если при ее измерении под нагрузкой 100 г диагональ отпечатка составила 16 мкм.

Методические указания

Микротвердость определяется по формуле

 

, (3.12)

где a – угол между гранями пирамидки, a = 136°, Р – нагрузка в кг/мм²; D – диагональ отпечатка в мм.

Расчет по формуле (3.12) дает

 

кг/мм²,

 

где Р ₁ ‑ нагрузка в граммах; D ₁ – диагональ отпечатка в микрометрах.