Выборочное среднее, выборочная дисперсия

Для эмпирической случайной величины можно построить ступенчатую функцию распределения; она называется выборочной функцией распределения. Кроме того, можно вычислить все числовые характеристики выборочной случайной величины : математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение , начальные и центральные моменты, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса и т.д. Все эти величины снабжаются определением "выборочный": выборочное математическое ожидание (его обычно называют выборочным средним), выборочная дисперсия, выборочная медиана и т.д. Например, выборочное среднее (его обозначают через ) есть не что иное как среднее арифметическое значений выборки: . Соответственно выборочная дисперсия равна

Гистограмма и полигон

На практике выборки большого объема из непрерывных распределений обычно подвергаются группировке: интервал изменения значений выборки разбивается на малые промежутки, а затем подсчитываются частоты попадания значений выборки в каждый i -й промежуток. Для оценки плотности распределения генеральной совокупности используется специальный график - гистограмма. Гистограмма строится следующим образом. Пусть длина каждого маленького промежутка равна h. Построим на i-м промежутке как на основании прямоугольник высотой . Тогда площадь прямоугольника будет равна , то есть относительной частоте попадания значений выборки в данный интервал. Верхняя часть контура гистограммы дает приближенное представление о графике плотности распределения.

Суммарная площадь прямоугольников гистограммы равна единице. Это статистический аналог условия нормировки для плотности распределения. Построенную гистограмму было бы правильнее называть гистограммой относительных частот. По аналогии с этой гистограммой строится гистограмма частот: высота прямоугольников равна и площадь гистограммы совпадает с объемом выборки n.

Если соединить отрезками середины верхних сторон прямоугольников гистограммы, получится еще одно графическое представление для плотности распределения - полигон. Обозначим середины интервалов группировки через . Полигоном соединяются точки с координатами (полигон относительных частот) или (полигон частот).

В статистике используются также гистограммы и полигоны накопленных частот (накопленных относительных частот). Гистограмма накопленных относительных частот строится точно так же, как обычная гистограмма, но высота прямоугольника равна накопленной относительной частоте . Высота последнего прямоугольника равна единице. Сумма относительных частот приближенно равна сумме соответствующих вероятностей, то есть интегралу от плотности распределения от левой границы выборки до текущей точки. Гистограмма накопленных относительных частот (как и выборочная функция распределения) является аналогом функции распределения генеральной совокупности. Гистограмма накопленных частот и соответствующие полигоны строятся аналогично.