Совместное распределение случайных величин

Пусть заданы две конечные случайные величины:

,

Событие состоит в том, что одновременно случайная величина принимает значение , а случайная величина - значение . Назовем вероятности таких событий совместными вероятностями и обозначим их через :

Набор точек вместе с совместными вероятностями образуют совместное распределение случайных величин x и h.

Две конечные случайные величины называются независимыми, если события и независимы при всех и, . В противном случае случайные величины зависимы. Для независимых случайных величин совместное распределение строится по известным распределениям величин x и h:

.

Пусть заданы две конечные случайные величины:

,

Их суммой называется случайная величина , значениями которой являются всевозможные суммы с совместными вероятностями .

Произведением этих случайных величин называется случайная величина , значениями которой являются всевозможные произведения с теми же вероятностями .

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Математическим ожиданием конечной случайной величины

называется число

.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

1. Математическое ожидание постоянной равно ей самой:

.

2. Если случайная величина принимает только неотрицательные значения, то .

3. Константу можно выносить за знак математического ожидания:

4. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

.

5. Для любой случайной величины справедливо равенство

.

Операция вычитания математического ожидания из случайной величины называется центрированием.

6. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Дисперсия

Дисперсией конечной случайной величины называется число

.

Случайная величина распределена по закону

и, по определению математического ожидания, дисперсия вычисляется по следующей формуле:

Дисперсию иногда обозначают как или

называется среднеквадратичным отклонением или стандартным отклонением случайной величины .

1°. Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:

.

При этом тогда и только тогда, когда случайная величина постоянна.

2°. Константа выносится из-под знака дисперсии с квадратом:

.

3°. Сдвиг на константу не меняет дисперсии:

.

4°. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

( и независимы)

5°. Дисперсия равна "среднему квадрату минус квадрат среднего":

.

Случайная величина

называется стандартизованной (по отношению к ) или просто стандартизацией . Стандартизованная случайная величина имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

Коэффициент корреляции

Ковариацией двух случайных величин и (или ковариаиией между и ) называется число

Из определения вытекают следующие простые свойства ковариации:

1.

2. Ковариаиия коммутативна: .

3 .

4. .

Следующее свойство важно при оценке степени зависимости двух случайных величин.

5°. Если случайные величины и независимы, то их ковариация равна нулю.

Для независимых величин и их центрированные величины также независимы. Поэтому

,

Ковариация стандартизованных величин и называется коэффициентом корреляции между случайными величинами и :

,

Предполагается, что случайные величины и имеют ненулевые дисперсии. Справедливы следующие свойства коэффициента корреляции:

1. .

2. Коэффициенты корреляции между и и между их стандартизациями совпадают:

3.

4°. Если и независимы, то (если , то и зависимы).

5°. Коэффициент корреляции равен тогда и только тогда, когда случайные величины линейно зависимы:

.