Элементы теории размерных цепей

Размерной цепью называют совокупность взаимосвязанных размеров (звеньев), образующих замкнутый контур.

По взаимному расположению звеньев размерные цепи делятся на линейные (все звенья параллельны), плоские (звенья расположены в одной плоскости) и пространственные.

Задача обеспечения точности при конструировании изделий решается с помощью конструкторских размерных цепей, а при изготовлении деталей - с помощью технологических размерных цепей.

Звено, которое получается последним в процессе изготовления или сборки узла, называют замыкающим. Его величина и точность зависят от величины и точности остальных звеньев, называемых составляющими.

Рис. 1.1. Схема трехзвенной размерной цепи

На рис. 1.15 показана схема трехзвенной размерной цепи. Замыкающий размер А_å (зазор) зависит от диаметра отверстия - размера А₁ , называемого увеличивающим (с его увеличением размер А_å увеличивается), и диаметра вала размера А₂, называемого уменьшающим (с его увеличением размер А_å уменьшается).

Размерные цепи рассчитываются методами “ максимума - минимума ”, при котором допуск замыкающего звена определяют с учетом предельных значений составляющих звеньев, и теоретико-вероятностным, который учитывает вероятность сочетания (например, при сборке) размеров составляющих звеньев.

Рассмотрим решение размерных цепей методом “максимум - минимум”.

Нетрудно видеть (рис. 1.15), что для номинальных значений

А_å=А₁-А₂ , (1.3)

А_åmax=A_1max-A_2min , (1.4)

А_åmin=A_2min-A_1max . (1.5)

В общем случае при n увеличивающих и р уменьшающих звеньях

, (1.6)

, (1.7)

. (1.8)

Учитывая, что разность между наибольшими и наименьшими предельными размерами- суть допуски, почисленно вычитая (1.8) из (1.7), получим%

TA_å= , (1.9)

TA_å= , (1.10)

т.е. допуск замыкающего звена равен сумме допусков составляющих звеньев.

Рис. 1.2 Схема определения координаты середины поля допуска D0(Ai)

Приведем уравнения, связывающие предельные отклонения звеньев. Эти уравнения получены почленным вычитанием (1.6) из (1.7) и (1.8) с учетом соотношений, вытекающих из рис. 1.16:

А_imax=A_i+Es(A_i),

A_imin=A_i+Ei (A_i),

Es(A_i)=D₀ A_i + ,

Ei(Ai)=D₀ A_i- , (1.11)

Es(A_å)= , (1.12)

Ei(A_å)= , (1.13)

D_o(А_å)= . (1.14)

При размерном анализе могут решаться две задачи:

1. Определение размера (номинального значения и предельных отклонений) замыкающего звена А_å по заданным размерам составляющих звеньев A_i.

2. Определение размеров составляющих звеньев А_i по заданным номинальным размерам всех звеньев цепи и предельным размерам замыкающего звена А_å.

Для решения первой задачи при известных номинальных значениях звеньев достаточно двух уравнений: по (1.10) определяется допуск замыкающего звена и по (1.12) либо (1.13), либо (1.14) - его предельные отклонения или расположение допуска А_å относительно нулевой линии.

Вторую задачу приходится решать с помощью тех же двух уравнений: (1.10) и, например, (1.12), при (n+p) неизвестных.

Возможны два способа решения этой задачи:

- назначение равных допусков составляющих звеньев;

- назначение допусков составляющих звеньев одной степени точности (одного квалитета).

Способ равных допусков предполагает, что ТА₁ =ТА₂=...ТA_n+p; отсюда с учетом (1.10) ТA_i= . Полученный усредненный допуск можно корректировать, округлять, но так, чтобы выполнялось соотношение (1.10).

Расположение найденных полей допусков относительно номиналов устанавливают для всех звеньев, кроме одного, по технологическим соображениям (для охватываемых - в минус, для охватывающих - в плюс, для прочих - симметрично ±), а последнего звена - по соотношению (1.12).

Способ равных допусков прост, но недостаточно корректен, т.к. при существенной разнице номинальных значений составляющих звеньев их допуски окажутся соответствующими различным квалитетам.

От этого недостатка свободен способ назначения допусков одной степени точности. Так как величина допуска каждого составляющего размера равна TA_j= a i_j то, принимая для всех звеньев одно и то же значение коэффициента точности а, уравнение (1.10) может быть представлено следующим образом:

ТА_å= а × и а = . (1.15)

Значения i - единиц допуска могут быть взяты из табл. 1.1,

где DD - интервалы диаметров (размеров);

i - значение единицы допуска.

Таблица 1.1

DD	До 3	3...6	6...10	10...18	18...30	30...50	50...80
i	0,55	0,73	0,9	1,08	1,31	1,56	1,86
DD	80...120	120...180	180...250	250...315	315...400	400...500
i	2,17	2,52	2,9	3,27	3,54	3,89

После определения коэффициента точности а, значения допусков составляющих звеньев определяют по формуле ТА_j= а i_j, полученные значения округляют, но так, чтобы выполнялось базовое соотношение (1.10).

Расположение найденных полей допусков относительно номиналов возможно установить так же, как и в описанном выше “способе равных допусков”.

Решение размерных цепей теоретико-вероятностным методом осуществляется аналогично рассмотренному методу “минимум - максимум” при следующих изменениях: из формул (1.12), (1.13) и (1.14) используется только (1.14), вместо (1.10) используется формула

ТА_{å =} (1.16)

и вместо (1.15) а = . (1.17)

Формулы (1.16) и (1.17) получены из предположения, что распределение действительных размеров подчиняется закону Гаусса (нормального распределения), центр группирования случайных величин совпадает с серединой поля допуска, а поля рассеяния - с величиной допуска [6].

Рассмотрим размерный анализ изделия на примере распространенного типа электродвигателя - асинхронного с короткозамкнутым ротором.

Электродвигатель, как известно, - это машина для преобразования электрической энергии в механическую. Электродвигатель содержит неподвижную часть - статор с обмотками и вращающийся ротор, установленный на подшипниках качения.

Рис. 1.3. Схема электродвигателя

На рис. 1.17. представлена схема асинхронного (т.е. несинхронного) электродвигателя с короткозамкнутым ротором 1; обмотку последнего выполняют в виде «беличьей клетки» из медных или алюминиевых стержней, соединенных с торцов двумя медными или алюминиевыми кольцами. Ток в эту обмотку не подается, а возникает по индукции от статора 2. Когда двигатель включают, вращающееся магнитное поле статора возбуждает в «беличьей клетке» ток (аналогично тому, как возбуждается ток во вторичной обмотке трансформатора), а этот ток порождает свое магнитное поле. Благодаря взаимодействию полей статора и ротора последний начинает вращаться. Частоты вращения поля и ротора разные, потому что для того, чтобы в стержнях обмотки ротора появился ток, нужно, чтобы магнитные силовые линии поля статора пересекли эти стержни. А это возможно только в том случае, если частота вращения поля и ротора разные.

На рис.1.17 показана схема электродвигателя и выделены размеры, влияющие на замыкающие звенья соответствующих размерных цепей X₁, X₂, X₃: X₁- зазор между правым шарикоподшипником и внутренним торцом правого щита, X₂-вылет рабочего выходного конца вала, X₃-вылет вентиляторного выходного конца вала.

Три замыкающих размера X₁, X₂, и X₃ определяют три линейных размерных цепи (рис. 1.18 а, б, в).

Рис. 1.4 Размерные цепи в электродвигадетеле

Нетрудно видеть, что все они представляют собой совокупности взаимосвязанных размеров, образующих соответствующие замкнутые контуры.

Обход цепи, например, по часовой стрелке, позволяет определить принадлежность составляющих звеньев: одинаково направленные звенья имеют один статус. Так, в цепи (рис. 1.18б) звенья Б, Е увеличивающие (при их увеличении замыкающий размер X₂ увеличивается), остальные уменьшающие.