Элементы теории корреляции. Линейная корреляция

Мы ввели понятия функции регрессии Y на Х: φ(х) = М(Y|Х = х), аналогично можно ввести понятие функции регрессии Х на Y: f (х) = М(Х|Y = у). Уравнения: φ(х) = М(Y| х) и f (у) = М(Х| у) называются уравнениями регрессии, а их графики – линиями регрессии. Левые части, т.е. условные математические ожидания генеральной совокупности, могут быть неизвестны. В таком случае их оценивают соответствующими параметрами, найденными по выборке: φ^*(х)= – условная средняя; f ^* (у) = _у – условная средняя. Эти уравнения являются уравнениями регрессии, а их графики линиями регрессии.

Если обе линии регрессии Y на X и X на Y — прямые, то корреляцию называют линейной.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид:

где – условная средняя; – выборочные средние признаков X и Y; – выборочные средние квадратические отклонения; — выборочный коэффициент корреляции, причем

.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y имеет вид

.

Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то для поиска линий регрессии целесообразно перейти к условным вариантам:

,

где С₁ – «ложный нуль» вариант X (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую частоту); h₁ – шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами Х; С₂ – «ложный нуль» вариант Y; h₂ – шаг вариант Y.

В этом случае выборочный коэффициент корреляции

.

Величины могут быть найдены либо методом произведений (при большом числе данных), либо непосредственно по формулам:

Зная эти величины, можно определить входящие в уравнение регрессии величины по формулам:

для оценки силы линейной корреляционной связи служит выборочный коэффициент корреляции r_B.

Методические рекомендации для выполнения второго задания и решение нулевого варианта

Задание 2. По заданной таблице 1:

а) найти выборочный коэффициент корреляции и проверить его значимость при α = 0.05;

б) найти уравнение выборочной линии регрессии;

в) построить график линии регрессии и сопоставить ее с графиком линии, построенной с помощью средних;

 

Таблица 1

Y	X

Решение.

а) Найдем выборочный коэффициент корреляции и проверим его значимость.

Для этого составим сначала таблицу 2 по условным вариантам, приняв С₁ = 13, h₁ = 2, C₂ = 4, h₂ = 1.

 

Таблица 2

V	U
-2	-1				nv
-3
-2
-1
nu						n = 100

 

По таблице 2 найдем выборочные , ,σ_u, σ_v.

Cоставим таблицу 3.

 

Таблица 3

V	U
-2	-1				ΣnuvU	vU
-3	-18 -27	-1 -3				-19
-2	-16 -16	-12 -24	-2			-28
-1		-7 -7	-26	-2		-5
V=ΣnuvU	-43	-34	-24				ΣvU=142
UV						ΣnV=142

 

По таблице 3 найдем выборочный коэффициент корреляции r_B.

Для проверки значимости выборочного коэффициента корреляции выдвинем гипотезу Н₀: r_г = 0 и подберем критерий для ее проверки ;

Проверим гипотезу по этапам:

Этап 1. Нулевая гипотеза Н₀: r_г = 0, конкурирующая Н₀: r_г ≠ 0.

Этап 2. Зададимся уровнем значимости α = 0.05 (задан по условию).

Этап 3. Воспользуемся критерием и найдем его численное значение при n = 100 и r_B = 0.75;

Этап 4. Найдем критическую область, которая является двусторонней, для чего воспользуемся таблицей и найдем t_кр. = 1.98. Таким образом, критической областью является совокупность двух областей (- ∞; - 1.98) и (1.98; ∞).

Этап 5. Так как численное значение критерия принадлежит критической области, то выборочный коэффициент корреляции значим, что подтверждает факт корреляционной зависимости между Х и Y.

б) Найдем уравнение выборочной линии регрессии Y на Х в виде , для чего воспользуемся формулами:

Подставим найденные значения в искомое уравнение регрессии, получим: или .

в) Построим график линии регрессии и сопоставим ее с графиком линии, построенной с помощью средних, т.е. проверим согласованность, сравнивая средние, вычисленные: а) по условию; б) по корреляционной таблице.

x₁ = 9

х₂ = 11

х₃ = 13

х₄ = 15

х₅ = 17

Для сравнения составим таблицу 4.

 

Таблица 4

По уравн.	-0,04	1,78	3,6	5,42	7,24
По таблице	1,47	2,3	3,35	4,55	5,25

Изобразим данные на графике.

г) вычислим корреляционное отношение Y на Х, т.е. , где

n = 100, n_x, n_y – частоты х признака Х, частоты y признака Y.

– общая средняя признака Х, – условная средняя признака Y.

Составим таблицу 5, взяв таблицу 1, и дополнив ее строкой из условных средних.

 

Таблица 5

Y	X	ny
nx						N = 100
	1.47	2.30	3.35	4.55	5.25

1.

2.

= 1.29.

3.

= 1.1.

4.

Так как η_xy = 0.85, r_B = 0.75, т.е. η_xy ≠ r_B, то говорят, что зависимость не является линейной.

 

Задания для проекта:

Задание 1. Обработать статистические данные признака выборочной совокупности, оформленные таблицей: