Математические модели механики деформируемого твердого тела

 

Спецкурс для бакалавров направления «Математика», 3 курс (контрольные вопросы).

 

I. ВВЕДЕНИЕ.

 

1.1. Схема исследований в МДТТ

 

1.2. Основные гипотезы.

1. Понятие сплошной среды.

2. Понятие однородности. Микро и макро неоднородные материалы.

3. Понятие упругости.

4. Изотропные и анизотропные тела. Естественная и конструктивная анизотропия

Контрольные вопросы.

1. Характеризовать понятие сплошной среды. 2. Привести примеры микро и макро однородных и неоднородных материалов. 3. Что такое «естественная анизотропия»?

4. Привести различные формулировки упругого тела. 5. Привести примеры изотропных и анизотропных материалов. 6. Пояснить, чем анизотропия отличается от неоднородности.

7. Что такое «технологическая анизотропия»?

 

1.2. Элементы напряженного состояния.

1. Внешние силы – поверхностные и объемные, сосредоточенные, распределенные.

2. Размерности физических величин (системы СГС и СИ)

3. Внутренние силы. Вектор напряжений. Тензор напряжений.

4. Закон парности касательных напряжений. Правило знаков для напряжений.

4. Однородное напряженное состояние. Напряжения на наклонной площадке.

Контрольные вопросы.

1. Классифицировать типы внешних сил, привести примеры различных нагрузок.

2. Каковы размерности сил, удельного веса, плотности, давления, работы. 3. Что такое вектор напряжения, как через него определяются компоненты тензора напряжения? 4. Сформулировать правило знаков для нормальных и касательных напряжений. 5. Привести примеры однородного напряженного состояния. 6. На какой площадке достигается максимальное касательное напряжение при однородном растяжении стержня?

 

1.3. Элементы деформированного состояния.

1. Продольные деформации в прямоугольной системе координат.

2. Деформации сдвига в прямоугольной системе координат.

Контрольные вопросы.

1. Сформулировать и объяснить на примере понятия абсолютного и относительного удлинения. 2. Показать на примере геометрический смысл деформаций сдвига.

 

1.4. Закон Гука.

1. Одноосный закон Гука.

2. Обобщенный закон Гука.

3. Физический смысл модуля Юнга, модуля сдвига, коэффициента Пуассона.

4. Закон Гука для давления и объемной деформации.

Контрольные вопросы.

1. Почему закон Гука формулируется не для сил и перемещений, а для напряжений и деформаций? 2. На основе какого принципа формулируется обобщенный закон Гука?

3. Выпишите основные упругие константы изотропного тела, объясните их физический смысл. 4. Что такое несжимаемая среда?

 

1.5. Неупругое поведение материала.

1. Диаграмма растяжения металла за пределами упругости

2. Понятия пластичности, хрупкости, твердости.

3. Реологические сложные среды. Среда Фойгта. Среда Максвелла.

Контрольные вопросы.

1. Что такое предел упругости, предел текучести? 2. Чем характеризуются прочностные и пластические свойства материала? 3. Как влияет температура и скорость деформаций на пластические свойства? 4. Каковы основные элементы механических моделей? 5. Что такое ползучесть, вязкость, релаксация?

 

II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

 

2.1. Плоское напряженное состояние и плоская деформация.

1. Плоское напряженное состояние.

2. Плоское деформированное состояние.

3. Напряжение на наклонной площадке.

4. Дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия.

5. Функция напряжений Эри.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте условия, необходимые для реализации ПНС. 2. Сформулируйте условия, необходимые для реализации ПДС. 3. Дайте определение главным напряжениям и главным площадкам. 4. Приведите примеры граничных условий в напряжениях на прямолинейных границах. 5. Расскажите схему вывода уравнения, которому удовлетворяет функция напряжений Эри.

 

2.2. Двумерные задачи в прямоугольных координатах.

1. Изгиб консоли, нагруженной на конце.

Контрольные вопросы.

1. Расскажите схему решения задачи изгиба консоли, нагруженной на конце с помощью функции Эри. 2. Сформулируйте граничные условия для задачи об изгибе консоли.

 

2.3. Двумерные задачи в полярных координатах.

1. Вывод уравнений равновесия.

2. Вывод уравнений Коши: деформации и перемещения.

Контрольные вопросы.

1. Объясните появление не дивергентных слагаемых в уравнениях равновесия.

2. Поясните геометрический смысл слагаемых в выражениях для деформаций.

 

2.4. Полярно-симметричное распределение напряжений.

1. Напряженное состояние цилиндра под действием внутреннего или внешнего давления.

2. Напряжения во вращающихся дисках (сплошном или с отверстием).

Контрольные вопросы.

1. В чем заключается принципиальное отличие решения для сплошного и полого цилиндра. 2. Сформулируйте граничные условия для цилиндра, нагруженного внутренним или внешним давлением. 3. В какой области достигаются опасные напряжения при действии внутреннего давления на цилиндр? 4. Сформулируйте граничные условия для сплошного или полого вращающегося диска. 5. Что является причиной появления напряжений в круглом диске при его вращении?

 

2.5. Напряжение в пластине с круглым отверстием. Концентрация напряжений.

1. Распределение напряжений в пластинке с отверстием.

2. Концентрация напряжений.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение явлению концентрации напряжений. 2. Каковы количественные характеристики оценки концентрации напряжений? 3. Каково качественное распределение напряжений в окрестности отверстия в пластинке при растяжении? 4. В какой области достигаются максимальные касательные напряжения?

 

2.6. Сосредоточенная сила на прямолинейной границе.

1. Действие нормальной силы на границе полупространства.

Контрольные вопросы.

1. Что такое «простое радиальное распределение напряжений»? 2. Каковы свойства решения в окрестности приложенной нагрузки? 3. Как распределяются напряжения вдоль линии, параллельной границе?

 

2.7. Напряжения в круглом диске.

1. Две уравновешивающие, диаметрально противоположные силы.

Контрольные вопросы.

1. Суперпозицией каких решений является окончательное решение задачи о сжатии круглого диска? 2. Где в диске достигается максимальное сжимающее напряжение?